Wireless Ad Hoc and Sensor Networks

174 Wireless Ad Hoc and Sensor Networks⎡Tαϕ 2 ˆ k k k× ek2 ( )ˆ ϕ2( ) δ( ) ⎤⎢ ( ) − − ˆT⎥⎣⎢1 αϕ 2 2 ( k)ˆ ϕ2( k)⎦⎥ − 2ek − − T( ) 2 αϕ 1 ˆ1 ( k)ˆ ϕ1( k)1 1( )× ˆ ( −)( ) ˆ ˆT1 αϕ 1 ( k)ˆ ( k)T1 ϕ1W k W( k)−− ˆT2 αϕ ( k)ˆ( W T ϕˆ 1( k) + B1e( k))ϕ ( k)12wherek1φ+ 2 × 1Wmax1maxek ( )22 − αφ 1δ2maxW21max21max( ) + 21 1max( − αφ 2 1 2 max ) + ( 2 − αφ21max)δ = W ϕ̃+ ε + dmax 2max 2max NmaxMφ,(4.A.5)(4.A.6)⎡ 2 1∆J C e kCC ek C2⎤≤−( 1− 0) × ⎢ ( ) −2 ( ) −⎣ ( 1 − 0)( 1 − C0)⎦ ⎥−⎡⎣ −⎤αϕ 2 ˆT2 21 αϕ 2 ˆT( k)ˆ ϕ( k ) δ( k)2 ( k)ˆ ϕ2( k) ⎦ e( k)−ˆT− αϕ ( k)ˆ ϕ( k)−( 2 −αϕ1ˆ T1( )ˆ ϕ1( ) ˆ Tk k ) W ( k) W ˆ ( k)−1 2 2 2( ( ))1−αϕ 1ˆ T1( k)ϕˆ1 kˆT2 − αϕ ( k)ˆ ϕ( k)21 1 1T( W ϕˆ 1( k) + B1e( k))2where(4.A.7)andC2⎡= ⎢⎢⎣C1δk φ maxW=2 − αφ21 1 1max( 1 1max)Wφ22 2max1 122( 1−2 2 ) + max maxαφ max 2−αφ 1 1max( )⎤⎥⎥⎦(4.A.8)(4.A.9)because C 0 , C 1 , and C 2 are positive constants, ∆J ≤ 0 as long as( )ek ( ) 1>C C 1 +( )C 21 + C 2( 1 − C 0).1 −0(4.A.10)