Spēļu teorijas mācību materiāli (.pdf) - Fizmati

Neizšķiršanas attiecība ir refleksīva, t.i., p ∼ q visiem p ∈ W ;simetriska: ja
p ∼ q, tadq ∼ p, p, q ∈ W ;transitīva: ja p ∼ q un q ∼ r, tadp ∼ r, p, q, r ∈ W .
Tanīpašā laikāpriekšrocību sakārtojums ≻ ir gan transitīvs: no p ≻ q un q ≻ r
seko, ka p ≻ r, bet nav simetrisks: katram loteriju pārim p, q ∈ W ,jap ≻ q, tad
¬(q ≻ p), nav arī refleksīva, t.i., loterijai p netiek dota priekšroka pār to pašu
loteriju p.
1.AKSIOMA. Priekšrocību sakārtojums ≻ kopā W ir pilns, t.i., par katru
pāri p, q ∈ W lēmuma pieņēmējs var pateikt, ka p ≻ q vai q ≻ p, vaip ∼ q.
No 1.aksiomas seko, ka patvaļīgām loterijām p, q ∈ W ,kurām p ≻ q, izpildās
vienanosakarībām p ≻ r vai r ≻ q. Gadījumā, kad r ≻ p, transitivitātes dēļ
iegūsim, ka r ≻ q. Savukārt, ja q ≻ r, tad transitivitātes dēļ p ≻ r. Bet, ja
r ∼ p, tadr ≻ q, jar ∼ q, tadp ≻ r.
2.AKSIOMA. Pieņemsim, ka p, q, r ∈ W ir trīs atšķirīgas loterijas un
α ∈ [0; 1]. Ja p ≻ q, tadαp +(1− α)r ≻ αq +(1− α)r.
2.aksiomu bieži dēvē parMorgenšterna neatkarības postulātu. Ilustrēsim
2.aksiomu ar piemēru. Pieņemsim, ka p, q ir divas loterijas no W ,parkurām ir
zināms, ka p ≻ q. Pieņemsim, ka r arī irkautkāda loterija no W .Tadα =0, 5
ir spēkā 0, 5p +0, 5r ≻ 0, 5q +0, 5r. Šo situāciju uzskatāmi var parādīt ar spēles
koku (5.4.zīm.).
0,5
r
0,5
r
0,5
0,5
p
q
0, 5p +0, 5r ≻ 0, 5q +0, 5r
5.4.zīm.
3.AKSIOMA. Pieņemsim, ka p, q, r ∈ W ir trīs patvaļīgas loterijas. Ja
p ≻ q, tad eksistē tādas konstantes α, β ∈ [0; 1], ka
q ≻ αp +(1− α)r un q ≺ βp +(1− β)r.
3.aksiomu sauc arī par Arhimeda aksiomu. No šīs aksiomas seko:
ja p + ≻ q ≻ p − , tad eksistēs tāds α ∈]0; 1[, ka αp + +(1− α)p − ∼ q.
Ilustrēt to varētu tā: ir iespējami 0 Ls, 1 Ls un 100 Ls laimesti, tad eksistē tāda
loterija A =(α, 1 − α), α ∈ [0; 1], ka 1 Ls droš vinnests ir līdzvērtīgs loterijai A,
kurā arvarbūtību α var laimēt 0 Ls un ar varbūtību 1 − α var laimēt 100 Ls.
17