Spēļu teorijas mācību materiāli (.pdf) - Fizmati

LEKCIJA NR. 8
Kurno-Neša (Cournot-Nash) oligopolmodelis ar n ražotājiem
Šajā nodaļāapskatīsim oligopolmodeli un mēǧināsim noskaidrot, ko tanī
nozīmē Neša līdzsvars.
Oligopols ir viena no tirgus formām. Šeit mēs runāsim par piedāvājuma
oligopolu, t.i., tādu tirgus situāciju, kurā irdaži ražotāji un daudzi patērētāji.
Individuālais pieprasījums ir ļoti mazs un nevar ietekmēt tirgus kopējo pieprasījumu,
bet katra ražotāja rīcība gan ietekmē kopējo piedāvājumu.
Pieņemsim, ka ir n ražotāji, kuri ražo viena veida produkciju vienam tirgum
(t.i., prece ir homogēna). Ar y i apzīmēsim i-tā ražotāja saražoto produkcijas
daudzumu; šīs produkcijas saražošana i-tajam ražotājam izmaksā C i := c i y i
naudas vienības, kur c i nozīmē, cik naudas vienības nepieciešamas, lai saražotu
vienu vienību produkcijas, i =1, 2, .., n. Pieņemsim, ka produkcijas cenu p tirgū
nosaka piedāvātās produkcijas daudzums ar lineāru sakarību:
p = A − B
n∑
y i ,
i=1
kur A un B ir tādas zināmas konstantes, ka y i
A>c i > 0, B>0, i =1, 2, ..., n.
Katrs ražotājs cenšas maksimizēt savu peļņu:
∈ [0; A B
], i = 1, 2, ..., n, un
Π i = py i − c i y i → max, i =1, 2, ..., n.
Mēs pieņemsim, ka visi ražotāji zina, kāds izskatās cenas funkcijas vispārīgais
∑
veids pie noteikta piedāvājuma. Kopīgo piedāvājumu n y i ražotāji nezin. Katrs
ražotājs atsevišķi zina, cik daudz produkcijas saražo viņš pats, bet nezina, ko
i=1
dara citi ražotāji. Veidojas spēļu teorijas situācija, kurā viena cilvēka darbība
ir atkarīga no pārējo cilvēku darbības.
Ja pieņemam, ka katrs ražotājs zina cenas funkcijas vispārīgo veidu, tad
peļņas funkcijas varam pierakstīt šādi:
Π i =(A − B
n∑
y i )y i − c i y i ,i=1, 2, ..., n.
i=1
Katra ražotāja nolūks ir maksimizēt šo funkciju, tātad matemātiski izsakoties —
jārisina optimizācijas uzdevums. Ekstrēma punktos (maksimuma un minimuma
punktos) funkcijas pirmās kārtas atvasinājums ir vienāds ar 0:
0= ∂Π i
∂y i
= A − B
n∑
y i − By i − c i = A − c i − B
i=1
n∑
j =1
j ≠ i
y j − 2By i .
26