Spēļu teorijas mācību materiāli (.pdf) - Fizmati

LEKCIJA NR. 6
Lēmuma pieņemšana nedrošos (varbūtiskos) notikumos — turpinājums
DEFINĪCIJA. Funkciju u : W → R sauc par lēmuma pieņēmēja derīguma
funkciju, ja sakarība u(p) >u(q) izpildāstaduntikaitad,kadp ≻ q, p, q ∈ W .
TEORĒMA. ja izpildās 1.-3.aksiomas un ≻ ir priekšrocību sakārtojums
kopā W , tad eksistē tāda derīguma funkcija u :Ω→ R, ka sakarība p ≻ q
izpildāstaduntikaitad,ja ∑ p(w)u(w) > ∑ q(w)u(w).
Summas ∑
w∈Ω
w∈Ω
p(w)u(w) =E p (u)un ∑
w∈Ω
w∈Ω
q(w)u(w) =E q (u) sauc par derīguma
matemātiskajām cerībām loterijās p un q. No šīs teorēmas seko, ka starp loterijām
p un q mēs varēsim izšķirt, kura labāka, ja aprēķināsim atbilstošās
matemātiskās cerības E p (u) unE q (u).
UNITĀTES TEORĒMA. Ja u :Ω→ R un v :Ω→ R ir divas dažādas
derīguma matemātisko cerību funkcijas pie viena un tāpaša priekšrocību sakārtojuma
≻ kopā W un izpildās 1.-3.aksiomas, tad eksistē tādas konstantes a, b > 0, ka
u(w) =a + bv(w) jebkuramw ∈ Ω.
Pieņemsim, ka 0 Ls ieguvums atbilst lietderības funkcijas vērtība 0 un 1000
Ls ieguvumam atbilst lietderības funkcijas vērtība 1, t.i., u(0) = 0 un u(1000) =
1. Var rasties jautājums, kāda lietderības funkcijas vērtība atbilst 500 Ls ieguvumam.
Apzīmēsim ar δ r tādu loteriju, kurai δ r (r) =1unδ r (w) =0,w ≠ r. Izmantojot
šo apzīmējumu, varam jautāt, vai loterijai 0, 5δ 0 +0, 5δ 1000 dosim
priekšroku pār loteriju δ 500 Lielākais vairums lasītāju droši vien labāk izvēlēsies
500 Ls drošu ieguvumu nekā loteriju,kurāarvarbūtību 0,5 var laimēt 0 Ls un
ar varbūtību 0,5 var laimēt 1000 Ls. Tātad
0, 5δ 0 +0, 5δ 1000 ≺ δ 500 . (6.1)
Savukārt, ja drošam 500 Ls vinnestam pretī būs likta loterija, kurā arvarbūtību
0,0001 var laimēt 0 Ls un ar varbūtību 0,9999 var laimēt 1000 Ls, tad laikam
gan priekšroka tiks dota šai loterijai, t.i.,
0, 0001δ 0 +0, 9999δ 1000 ≻ δ 500 . (6.2)
Uzrakstot sakarības (6.1) un (6.2) ar derīguma funkcijām, iegūsim
0, 5u(0) + 0, 5u(1000) = 0, 5 · 0+0, 5 · 1=0, 5 u(500).
No Arhimeda aksiomas sekām iegūsim, ka eksistēs tādas tāda konstante α ∈
]0, 5; 0, 9999[, ka
(1 − α)u(0) + αu(1000) = u(500) jeb α = u(500).
18