Spēļu teorijas mācību materiāli (.pdf) - Fizmati

u(y)
✻
2
1
✲
0 1 4 y
6.3.zīm.
Bērziņa kungam bankā irnoguldīti 3125 Ls. Viņam tiek piedāvāts darījums
iegādāties vērtspapīrus, kuri ar varbūtību 0,5 var dot ienākumus 400 Ls un ar
tādu pašu varbūtību 0,5 var dot ienākumus 900 Ls. Par šiem vērtspapīriem
Bērziņa kungam tiek prasīta 650 Ls liela cena. Kā viņš rīkosies
Ja Bērziņa kungs vērtspapīrus pirktu, tad matemātiskā cerība šādam darījumam
būtu
E p (Ω) = 0, 5 · (3125 + 400 − 650) + 0, 5 · (3125 + 900 − 650) = 3125.
Pašlaik Bērziņa kunga rīcībā irjaudrošs ieguvums 3125 Ls. Un tā kāBērziņa
kungs ir riska bailīgs (derīguma funkcija 6.3.zīm. ir izliekta uz augšu, t.i., u ′′ =
( √ y) ′′ =( 1 2 y− 1 2 ) ′ = − 1 4 y− 3 2 = −1
4y √ y
< 0),tadviņš vērtspapīrus nepirks, jo
drošības ekvivalents šādā darījumā pēc viņa izpratnes ir stingri mazāks skaitlis
par 3125 (un nevis ar to vienāds). Ja Bērziņa kungs ar pārdevēju vienotos par
zemāku cenu nekā 650 Ls, tad atbilde varētu būt arī pozitīva.
Tātad derīguma funkcijas izliektība nosaka riska nepatikas pakāpi. Tāsaucamais
Arrova-Pratta mērs aptver izliektību neatkarīgi no derīguma funkcijas,
tas paliek pie patvaļīgas transformācijas neizmainīts. Absolūtās riska nepatikas
Arrova-Prata mērs tiek definēts šādi A := − u′′
u
,kuru ′ un u ′′ ir derīguma funkcijas
pirmās un otrās kārtas atvasinājumi pēc ienākumiem. Ja i-tais spēlētājs ir
′
riska bailīgāks nekā j-tais spēlētājs, tad tā derīguma funkcija ir vairāk izliekta
uz augšu un tā Arrova-Pratta mērs ir lielāks: A i >A j . Riska neitralitātes
gadījumā Arrova-Pratta mērs ir vienāds ar 0.
Bērziņa kunga gadījumā A = − −1
4y √ y : 1
2 √ y = 1
2y .
Šī funkcija parāda, jo
lielāki ir Bērziņa kunga ienākumi, jo funkcijas vērtība ir mazāka, t.i., mazāka ir
nepatika pret risku.
Sankt-Pēterburgas paradokss.
Spēles noteikumi ir sekojoši(skatīt 6.4.zīm.): tiek mesta monēta; ja uzkrīt
cipars, tad spēlētājs saņem 2 naudas vienības, ja uzkrīt ǧērbonis, tad monēta
21