Spēļu teorijas mācību materiāli (.pdf) - Fizmati

DEFINĪCIJA. Spēles Γ = (N; S 1 , ..., S n ; u 1 , ..., u n )stratēǧiju kombināciju
(s ∗ 1, ..., s ∗ n) ∈ S 1 × ... × S n sauc par Neša (Nash) līdzsvaru, jakatramspēlētājam
i ∈ N un jebkurai stratēǧijai s i ∈ S i izpildās nosacījums
u i (s ∗ i ,s ∗ −i) ≥ u i (s i ,s ∗ −i).
Atcerēsimies cietuma dilemmas situāciju (skatīt 1.2.zīm.). Stratēǧiju pāris
(s 12 ,s 22 )irNeša līdzsvars:
u 1 (s 12 ,s 22 )=2≥ u 1 (s 11 ,s 22 )=1
u 1 (s 12 ,s 22 )=2≥ u 1 (s 12 ,s 21 )=1.
un
Šo secinājumu mēs izdarījām jau iepriekš. Mēs teicām, ka cietuma dillemas
risinājumu dod dominējošo stratēǧiju pāris. Tagad varam precizēt zināšanas
un teikt, ka (s 12 ,s 22 )irdominējošo stratēǧiju līdzsvars, pie tam tas ir stingri
dominējošo stratēǧiju līdzsvars. Šis stratēǧiju pāris (s 12 ,s 22 )irarīmaxminstratēǧiju
atrisinājums, jo s 12 ir 1.spēlētāja maxmin-stratēǧija:
min{u 1 (s 12 ,s 21 ),u 1 (s 12 ,s 22 )} =2≥ min{u 1 (s 11 ,s 21 ),u 1 (s 11 ,s 22 )} =1,
un s 22 ir 2.spēlētāja maxmin-stratēǧija:
min{u 2 (s 11 ,s 22 ),u 2 (s 12 ,s 22 )} =2≥ min{u 2 (s 11 ,s 21 ),u 2 (s 12 ,s 21 )} =1.
Tātad cietuma dilemmas gadījumā stingri dominējošo stratēǧiju līdzsvars, Neša
līdzsvars un maxmin-stratēǧiju atrisinājums sakrīt. Tātasirnevienmēr. Piemēram,
spēlē, kas aplūkota 2.4.zīmējumā. Šajā spēlē navdominējošo stratēǧiju, tātad
nav dominējošo stratēǧiju līdzsvara, bet ir Neša līdzsvars (s 12 ,s 22 ), kas sakrīt
ar maxmin-stratēǧiju atrisinājumu (jo s 12 ir 1.spēlētāja maxmin-stratēǧija:
min{u 1 (s 12 ,s 21 ),u 1 (s 12 ,s 22 ),u 1 (s 12 ,s 23 )} =1≥
≥ min{u 1 (s 11 ,s 21 ),u 1 (s 11 ,s 22 ),u 1 (s 11 ,s 23 )} = −8,
kā arī
1 ≥ min{u 1 (s 13 ,s 21 ),u 1 (s 13 ,s 22 ),u 1 (s 13 ,s 23 } = −8 ).
8