Spēļu teorijas mācību materiāli (.pdf) - Fizmati

1.spēlētājs var spriest sekojoši: ”Spēlē Γ 1 2.spēlētājam dominējošāstratēǧija
ir s 21 , t.i., neatkarīgi no tā, vai es izvēlos gājienus s 11 vai s 12 ,2.spēlētājs izvēlēsis
gājienu s 21 . Spēlē Γ 2 2.spēlētājam dominējošā stratēǧija ir s 22 ;viņš šajā spēlē
neatkarīgi no mana gājiena izvēlēsies gājienu s 22 . Tātad mana spēle reducējas
uz vienkāršotu spēli ”pret dabu”, kuras spēles koks parādīts 11.4.zīmējumā.”
Γ 1
Γ 2
♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣
s 11 s 12 s 11 s 12
1
0
0
1
11.4.zīm.
Tā kā1.spēlētājs nezina, ar kāda rakstura pretinieku viņam ir darīšana, tad
varam apzīmēt spēli Γ 1 kāpretspēlētāju ar tipu t 21 un Γ 2 kāpretspēlētāju ar
tipu t 22 (11.5.zīm.).
t 21 t 22
s 11 1 0
s 12 0 1
11.5.zīm.
1.spēlētājs nezina, kurš no tipiem ir viņa pretspēlētājs; varam pieņemt, ka
t 21 ir ar varbūtību p un t 22 ar varbūtību 1 − p vai p 1 (t 21 )unp 1 (t 22 ). Tādā
gadījumā varam izrēķināt abu tipu matemātiskās cerības. Ja p =1− p =0, 5,
tad rezultāts ir =0,5, un 1.spēlētājam ir vienalga, kuru gājienu izvēlēties. Ja
totiess pieņem, ka p 1 (t 21 )=0, 6unp 1 (t 22 )=0, 4, tad
E p1 =(u 1 |s 11 )=p 1 (t 21 ) · 1+p 1 (t 22 ) · 0=0, 6,
E p1 =(u 1 |s 12 )=p 1 (t 21 ) · 0+p 1 (t 22 ) · 1=0, 4.
Secinām, ka 1.spēlētājam labāk izvēlēties gājienu s 11 .Pašreizējos aprēķinos mēs
netikām izmantojuši faktu, kāda tipa spēlētājs patiesībāir2.spēlētājs (viņšzina,
ka notiek spēle Γ 1 ), bet tas var būtiski ietekmēt rezultātu.
DEFINĪCIJA. Par Beijesa spēli sauc spēli
Γ B =(N,S 1 ,S 2 , ..., S n ,T 1 ,T 2 , ..., T n ,p 1 ,p 2 , ..., p n ,u 1 ,u 2 , ..., u n ), kur
N ≠ ∅ —spēlētāju kopa,
S i — i-tā spēlētāja darbību (stratēǧiju) kopa, i ∈ N,
T i — i-tā spēlētāja tipu kopa, i ∈ N,
p i : T −i × T i → [0; 1] — varbūtība notikumam, ka i-tā spēlētāja tips ir t i ,bet
no pārējiem viņš sagaida tipus t −i , i ∈ N,
u i : S 1 × ... × S n × T 1 × ... × T n → R, kuru i (s 1 , ..., s n ,t 1 , ..., t n )iri-tā spēlētāja
36