Spēļu teorijas mācību materiāli (.pdf) - Fizmati

LEKCIJA NR. 3
Spēles formalizācija
Līdz šim esam apskatījuši dažādas spēļu variācijas, taču pats spēles jēdziens
precīzi pagaidām nav dots, tagad to izdarīsim, kā arīdefinēsim dažus citus
jēdzienus, kuriem būtiska nozīme spēļu teorijā.
DEFINĪCIJA. Teiksim, ka ir dota spēle normālformā, ja
1) dota spēlētāju kopa N = {1, ..., n};
2) katram spēlētājam i ∈ N ir zināma viņa stratēǧiju kopa S i ;
3) katram spēlētājam i ∈ N ir zināma viņa lietderības funkcija
u i : S 1 × ... × S n → R.
Saīsināti spēli normālformā pierakstaΓ=(N; S 1 , ..., S n ; u 1 , ..., u n ).
Atzīmēsim, ka spēle, kas dota ar ieguvumu matricas palīdzību, ir speciālgadījums
spēlei normālformā.
Cietuma dilemmas situācijā spēlētāju kopa N sastāv no diviem spēlētājiem,
abu spēlētāju stratēǧiju kopas ir vienādas S i = {n, a}, i =1, 2(n —neatzīties,
a —atzīties). S 1 × S 2 = {(n, n), (n, a), (a, n), (a, a)} ir visu iespējamo stratēǧiju
kombināciju kopa.
Vispārīgā situācijā S := S 1 × S 2 × ... × S n ir n spēlētāju visu iespējamo
stratēǧiju kombināciju kopa, kur s = (s 1 ,s 2 , ..., s n ) ir tikai viena konkrēta
stratēǧiju kombinācija no kopas S. Ar
S −i := S 1 × S 2 × ... × S i−1 × S i+1 × ... × S n =
n∏
j =1
j ≠ i
tiek apzīmēta n spēlētāju stratēǧiju kopa bez i-tā spēlētāja stratēǧijām; attiecīgi
s −i =(s 1 ,s 2 , ..., s i−1 ,s i+1 , ..., s n ) ir viena konkrētā n spēlētāju stratēǧiju kombinācija
bez i-tā spēlētāja stratēǧijas s i .
DEFINĪCIJA. Saka, ka spēlē Γ=(N; S 1 , ..., S n ; u 1 , ..., u n ) stratēǧija s ∗ i ∈
S i dominē pār stratēǧiju s i , i ∈{1, ..., n}, javisām stratēǧiju kombinācijām
s −i ∈ S −i ir spēkā nevienādības u i (s ∗ i ,s −i) ≥ u i (s i ,s −i )unmazākais vienai no
tām izpildās stingrā nevienādība.
DEFINĪCIJA. Stratēǧiju s ∗ i ∈ S i sauc par dominējošu, jatādominēpār
visām citām stratēǧijām s i ∈ S i .
DEFINĪCIJA. Stratēǧija s ∗ i ∈ S i stingri dominē pār stratēǧiju s i , i ∈
{1, ..., n}, javisām stratēǧiju kombinācijām s −i ∈ S −i ir spēkā:
u i (s ∗ i ,s −i) >u i (s i ,s −i ).
DEFINĪCIJA. Stratēǧiju sauc par stingri dominējošu, jatā stingri dominē
pār visām citām stratēǧijām s i ∈ S i .
DEFINĪCIJA. Stratēǧiju s ∗ i ∈ S i sauc par dominētu, jairvismazviena
stratēǧija s i ∈ S i ,kurapār to dominē.
S j
6