Spēļu teorijas mācību materiāli (.pdf) - Fizmati

LEKCIJA NR. 10
Neša līdzsvara atrašana
Teorēmas ilustrācijai apskatīsim jau pazīstamo ”dzimumu cīņas” spēli, kurā
darbojas Tīna un Oskars. Atgādināsim, ka spēlētāju ieguvumu matrica ir
Tīna kino futbols
Oskars s 21 s 22
kino — s 11 (10, 8) (6, 6)
futbols — s 12 (6, 6) (8, 10)
2.3.zīm.
Pieņemsim, ka p i ir varbūtība, ar kādu i-tais spēlētājs (Oskars kā 1.spēlētājs
un Tīna kā 2.spēlētājs) izvēlas stratēǧiju s i1 . Tādējādi pāris (p 1 ,p 2 )irjaukto
stratēǧiju pāris, kurš norāda, ka ar varbūtību p 1 Oskars ies uz kino un ar
varbūtību p 2 arī Tīna apmeklēs kino. Šim jaukto stratēǧiju pārim (p 1,p 2 ) atbilstošās
spēlētāju derīguma matemātiskās cerības jeb derīguma funkcijas spēles
jauktā turpinājuma definīcijas nozīmē ir:
U 1 =10p 1 p 2 +6p 1 (1−p 2 )+6p 2 (1−p 1 )+8(1−p 1 )(1−p 2 )=−2p 1 −2p 2 +6p 1 p 2 +8,
U 2 =8p 1 p 2 +6p 1 (1−p 2 )+6p 2 (1−p 1 )+10(1−p 1 )(1−p 2 )=−4p 1 −4p 2 +6p 1 p 2 +10.
Spēlētāji cenšas maksimizēt viņu sagaidāmo derīguma funkciju:
∂U 1
∂p 1
= −2+6p 2 =0, t.i., p 2 = 1 3 ,
∂U 2
= −4+6p 1 =0, t.i., p 1 = 2 ∂p 2 3 .
Iegūtais rezultāts parāda, ka jauktajās stratēǧijās spēles atrisinājumu dod pāris
( 2 3 , 1 3 ). Ja p 2 = 1 3
, tad Oskaram ir pilnīgi vienalga, kuru no divām stratēǧijām
izvēlēties, t.i., p 1 ∈ [0; 1]; tāpat, ja p 1 = 2 3
,tadTīnai ir pilnīgi vienalga, vai
doties uz futbolu vai apmeklēt kino, t.i., p 2 ∈ [0; 1]. Gadījumā, kad p 2 > 1 3 ,
tīrā stratēǧija s 11 ir optimālā (tās derīguma vērtība ir lielāka nekā s 12 ), tāpēc
p 1 =1. Līdzīgi spriedumi parāda, ja p 2 < 1 3 ,tadp 1 =0. Līdz ar to abu
spēlētāju reakcijas funkcijas ir:
⎧
⎪⎨ 0, p 2 < 1 3
R 1 (p 2 )= [0; 1] , p 2 = 1 3
⎪⎩
,
1, p 2 > 1 3
⎧
⎪⎨
R 2 (p 1 )=
⎪⎩
Atbilstošie reakciju funkciju grafiki doti 10.1.zīmējumā.
0, p 1 < 2 3
[0; 1] , p 1 = 2 3 .
1, p 1 > 2 3
32