Spēļu teorijas mācību materiāli (.pdf) - Fizmati

matemātiskā cerība ir dilstoša funkcija, un 1.spēlētājam izdevīgāk ir izvēlēties
p pēc iespējas mazu, t.i., p =0. Gadījumā, ja q = 1 2
,1.spēlētājam principā ir
vienalga, kāds ir p.
Formalizēsim tikko aprakstīto spēles situāciju.
DEFINĪCIJA. Spēles Γ = (N,S,U) i-tāspēlētāj stratēǧiju s ∗ i sauc paroptimālo
reakciju uz s ∗ −i , ja jebkurai citai stratēǧijai s i ∈ S i izpildās sakarība: u i (s ∗ i ,s∗ −i ) ≥
u i (s i ,s ∗ −i ).
Atskatoties atpakaļ uzNeša līdzsvara definīciju, varam sacīt, ka jaunajā terminoloǧijā
Neša līdzsvars ir tāda stratēǧiju kombinācija, kurā jebkuraspēlētāja
i ∈ N atbilstošā stratēǧija ir tam optimālā reakcija.
DEFINĪCIJA. Spēlē Γ=(N,S,U) funkciju R i : S −i → S i sauc par i-
tā spēlētāja reakcijas funkciju, jajebkuraistratēǧijai s i ∈ S i reakcijas funkcijas
vērtība R i (s −i )iri-tāspēlētāja optimālāreakcija: u i (R i (s −i ),s −i ) ≥ u i (s i ,s −i ).
1
p
✻
❝
S 1
⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
1
2
1
2
✲
0 } {{ } 1 q
S 2
7.2.zīm. (1.spēlētāja reakcijas funkcija)
Ja i-tais spēlētājs zina visu pārējo spēlētāju stratēǧijas, tad i-tajam spēlētājam
ir iespējams izvēlēties sev vēlamāko stratēǧiju, t.i., optimālo stratēǧiju.
Apzīmēsim R(s 1 ,s 2 , ..., s n ):=(R 1 (s −1 ),R 2 (s −2 ), ..., R n (s −n )).
Attēlojums R darbojas no stratēǧiju telpas S stratēǧiju telpā S. Ja mēs
varam garantēt, ka šim attēlojumam eksistē nekustīgais punkts, tad tas arī būs
mūsu meklētais Neša līdzsvars.
TEORĒMA: Ja R : S → S ir nepārtraukts attēlojums, stratēǧiju telpa S
ir netukša, kompakta un izliekta, tad spēlē Γ=(N,S,U) eksistēNeša līdzsvars.
24