Spēļu teorijas mācību materiāli (.pdf) - Fizmati

LEKCIJA NR. 12
Dinamiskās spēles I
Dinamiskās lēmumu pieņemšanas situācijas, kurās spēlētāja rīcība ir atkarīga
no tā informētības par pagātnē izdarītiem gājieniem, visvienkāršāk var analizēt
ar spēles koka palīdzību, t.i., ekstensīvo spēles formu. Tāpēc vispirms precizēsim,
kas ir spēle ekstensīvajā formā. Spēles ekstensīvajā formāmēǧināsim ietvert arī
varbūtiska rakstura situācijas.
DEFINĪCIJA. Teiksim, ka spēle ir uzdota ekstensīvajā formā, japarspēli
ir dota sekojoša informācija:
(1) mezglu kopa K;
(2) zaru kopa A ⊂ K × A, kaskopīgi ar K veido spēles koku (sakarīgu grafu
bez cikliem);
(3) kopas K skaldījums {P 0 ,P 1 , ..., P n ,E}, kur
P 0 ir gadījuma notikumu mezglu kopa,
P i ir i-tā spēlētāja lēmumu pieņemšanas mezglu kopa,
E ir galamezglu kopa;
(4) katram spēlētājam dots skaldījums P i informācijas apgabalos Ii 1 , ..., IMi i ,
i =1, 2, ..., n, M i ir i-tā spēlētāja informācijas kopu skaits;
(5) katram informācijas apgabalam I j i dots no I j i mezgliem izejošo zaru
skaldījums Z(I j i ), kur katram z ∈ Z(Ij i ) atbilst viens no Ij i izejošs gājiens un
katrs mezgls k ∈ I j i satur tieši vienu no k izejošu zaru;
(6) katram mezglam k ∈ P 0 un katram no k izejošam zaram ir piekārtota
realizācijas varbūtība w k ;
(7) katram galamezglam e ∈ E dots ieguvumu vektors (u 1 (e), ..., u n (e)).
Ar kopas X skaldījumu saprot tādu kopas X apakškopu X 1 , ..., X n sistēmu,
ka X 1 ∪ X 2 ∪ ... ∪ X n = X un X i ∩ X j = ∅, i ≠ j, i, j =1, 2, ..., n
Tālāk definēsim spēlētāju dažāda veida stratēǧijas ekstensīvajā spēlē.
DEFINĪCIJA. Par i-tā spēlētāja, i =1, 2, ..., n, tīro stratēǧiju ekstensīvajā
spēlē sauc funkciju s i ,kurajebkuramšīspēlētāja informācijas apgabalam I j i
piekārto vienu gājienu s i (I j i ) ∈ Z(Ij i ).
DEFINĪCIJA. Par i-tāspēlētāja, i =1, 2, ..., n, jaukto stratēǧiju ekstensīvajā
spēlē sauctīro stratēǧiju kopas varbūtību sadalījumu.
DEFINĪCIJA. Par i-tā spēlētāja, i =1, 2, ..., n, uzvedības stratēǧiju ekstensīvajā
spēlē saucsistēmu σ i =(σ i1 , ..., σ iMi ), kur σ i j ir Z(I j i )varbūtību
sadalījums un σ ij ir varbūtība, ar kādu i-tais spēlētājs izvēlas gājienu z, javien
viņš atrodasinformācijas apgabalā I j i .
DEFINĪCIJA. Uzvedības stratēǧiju sauc par pilnīgi jauktu, jatākatram
informācijas apgabalam I j i un katram gājienam z ∈ Z(I j i )piekārto pozitīvu
gājiena varbūtību σ ij (z) > 0.
Minētās definīcijas neattiecas uz spēlēm ar atmiņas zudumiem, t.i., tādām
spēlēm, kurās spēlētājs neatceras, kādus gājienus viņš irizdarījis iepriekš. Mēs
39