Spēļu teorijas mācību materiāli (.pdf) - Fizmati

LEKCIJA NR. 7
Neša līdzsvars
Vispirms atcerēsimies Neša līdzsvara definīciju no 3.lekcijas:
DEFINĪCIJA. Spēles Γ = (N; S 1 , ..., S n ; u 1 , ..., u n )stratēǧiju kombināciju
(s ∗ 1 , ..., s∗ n ) ∈ S 1 × ... × S n sauc par Neša (Nash) līdzsvaru, jakatramspēlētājam
i ∈ N un jebkurai stratēǧijai s i ∈ S i izpildās nosacījums
u i (s ∗ i ,s ∗ −i) ≥ u i (s i ,s ∗ −i).
(Atgādināsim, ka pieraksts (s ∗ i ,s∗ −i )nozīmē (s∗ 1,s ∗ 2, ..., s ∗ i , ..., s∗ n)un(s i ,s ∗ −i )=
(s ∗ 1 ,s∗ 2 , ..., s i, ..., s ∗ n ).)
Šīs lekcijas uzdevums ir noskaidrot, pie kādiem nosacījumiem eksistē Neša
līdzsvars.
Aplūkosim vienu samērā vienkāršu spēli ar diviem spēlētājiem. Spēlētājiem
ir divas iespējamās stratēǧijas: izvēlēties monētas cipara vai ǧērboņa pusi. Ieguvumu
matrica dota 7.1.zīmējumā.
2.spēlētājs
1.spēlētājs ǧērbonis cipars
ǧērbonis (1, −1) (−1, 1)
cipars (−1, 1) (1, −1)
7.1.zīm.
Viegli pārliecināties, ka šajāspēlēnavNeša līdzsvara un nav nekāda saprātīga
veida, kā rīkoties spēlētājiem. Bet kā būtu spēlē, kurā otraisspēlētājs mestu
neregulāru monētu ”uz labu laimi” Tādā gadījumāotraisspēlētājsirarvarbūtisku
raksturu. Pieņemsim, ka varbūtība uzkrist ǧērbonim ir q(Ǧ) = 1 3
un varbūtība
uzkrist ciparam ir q(C) = 2 3
. Varam izskaitļot 1.spēlētāja derīguma funkcijas
matemātisko cerību, izvēloties atbilstoši ǧērboni vai ciparu:
EǦ(u 1 )= 1 3 · 1+ 2 3 · (−1) = − 1 3 ,
E C (u 1 )= 1 3 · (−1) + 2 3 · 1= 1 3 .
Šādā spēlē 1.spēlētājam izdevīgāk ir izvēlēties monētas cipara pusi.
Bet kādi rezultāti sagaidāmi tad, ja pirmais spēlētājs ar varbūtību p izvēlas
ǧērboni, bet ar varbūtību 1 − p ciparu, un otrais spēlētājs ar varbūtību q izvēlas
ǧērboni, bet ar varbūtību 1 − q ciparu
1.spēlētāja derīguma funkcijas matemātiskā cerība ir:
E p (u 1 )=pq·1+p(1−q)·(−1)+(1−p)q·(−1)+(1−p)(1−q)·1=4pq−2p−2q+1.
Šī funkcija būs 1.spēlētājam augoša, ja tās parciālais atvasinājums pēc p būs
pozitīvs. ∂Ep(u1)
∂p
=4q−2—parciālais atvasinājums būs pozitīvs tanī gadījumā,
ja q> 1 2
.Jatasirtā, tad 1.spēlētājam izdevīgāk ir izvēlēties monētas ǧērboņa
pusi, t.i., p = 1. Ja savukārt q < 1 2
, tad 1.spēlētājam derīguma funkcijas
23