Spēļu teorijas mācību materiāli (.pdf) - Fizmati

tabulu aizpildīt — šajā spēlē tīrajās stratēǧijās Neša līdzsvara nav.
xy|uv
H 1 H 2
xy|uv
H 1 W 2
xy|uv
W 1 H 2
1
b|c
3 (1, 0) + 2 1
3
(0, 1) =
B 1 B 2 =( 1 3 , 2 3 ) 3 (3, 1) + 2 3
(2, 0) =
=(2 1 3 , 1 3 ) utt.
1
B 1 K 3 (1, 0) + 2 3
(1, 1) =
2
=(1, 2 3 )
K 1 B 2
K 1 K 2
13.2.zīm.
xy|uv
W 1 W 2
Par to, ka Neša līdzsvara nav, var pārliecināties sekojošā veidā: 1.spēlētāja
optimālā reakcijauzotrāspēlētāja gājienu (H 1 H 2 )irR 1 (H 1 H 2 ) = (B 1 K 2 ),
savukārt 2.spēlētāja optimālāreakcijauz1.spēlētāja gājienu (B 1 K 2 )irR 2 (B 1 K 2 )=
(H 1 W 2 ). Neša līdzsvara gadījumātebūtu jābūt abpusējai sakritībai. Pārbaudot
pārējos spēlētāju gājienus un nosakot pretspēlētāja optimālās reakcijas, var
pārliecināties, ka šajā spēlē tīrajās stratēǧijās Neša līdzsvara nav.
Pieņemsim, ka mums ir zināma 1.spēlētāja uzvedības stratēǧija: σ 11 (K 1 )=
k 1 = P (K 1 |1.1) =varbūtība, ar kādu 1.spēlētājs izvēlas gājienu K 1 , ja viņš
atrodas informācijas apgabalā 1.1,σ 11 (B 1 )=b 1 = P (B 1 |1.1)=varbūtība, ar
kādu 1.spēlētājs izvēlas gājienu B 1 ,javiņš atrodasinformācijas apgabalā 1.1,
σ 12 (K 2 )=k 2 = P (K 2 |1.2)=varbūtība, ar kādu 1.spēlētājs izvēlas gājienu K 2 ,ja
viņš atrodasinformācijas apgabalā 1.2,σ 12 (B 2 )=b 2 = P (B 2 |1.2)=varbūtība,
ar kādu 1.spēlētājs izvēlas gājienu B 2 ,javiņš atrodasinformācijas apgabalā
1.2. Tā kā darbojamies ar varbūtību sadalījumu, tad jāizpildās sakarībām, ka
k 1 =1− b 1 un k 2 =1− b 2 .
Tagad noteiksim 2.spēlētāja optimālo uzvedības stratēǧiju attiecībāuzpirmā
spēlētāja uzvedības stratēǧiju σ 1 .
Ja 2.spēlētājs atrodas informācijas apgabalā2.1,tadviņšvarizrēķināt varbūtības,
ar kādām viņš atrodas mezglos x un y:
1
P (x)
P (x|2.1) = P (x|x vai y) =
P (x vai y) = 3 k 1
1
3 k 1 + 2 3 k =
2
P (y|2.1) = P (y|x vai y) =
un var izrēķināt sagaidāmo ieguvumu:
P (y)
P (x vai y) = 2k 2
k 1 +2k 2
,
k 1
k 1 +2k 2
,
E(U 2 |2.1) = 0 · P (x|2.1) · σ 21 (H 1 )+1· P (x|2.1) · σ 21 (W 1 )+
+1 · P (y|2.1) · σ 21 (H 1 )+0· P (y|2.1) · σ 21 (W 1 )=
= P (x|2.1) · σ 21 (W 1 )+P (y|2.1) · (1 − σ 21 (W 1 )) =
= k1·σ21(W1)+2k2·(1−σ21(W1))
k 1+2k 2
=
= (k1−2k2)·σ21(W1)+2k2
k 1+2k 2
.
42