Spēļu teorijas mācību materiāli (.pdf) - Fizmati

apskatīsim spēles ar perfektu atmiņu, t.i., tādas spēles, kurās izdarītie gājieni
tiek ievēroti un tie nav izdzisuši no spēlētāju atmiņas.
Piemērs. Pieņemsim, ka P 0 = {1} un w(l) =p un w(r) =1− p.
1
l
r
2
♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣
2
e 1
L 1 R 1
L 1 R
1
♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣
2
e 2
2
L 2
R 2 L
2
2 e 3
♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣
2
R 2
e 5 e 6
L 3 R 3 L 3 R 3 e 4
12.1.zīm.
e 7
e 8
Tīrās stratēǧijas 2.spēlētājam 12.1.zīmējumāattēlotajāspēlē ir pavisam astoņas:
r 1 = (L 1 ,L 2 ,L 3 ), r 2 = (L 1 ,L 2 ,R 3 ), r 3 = (L 1 ,R 2 ,L 3 ), r 4 = (L 1 ,R 2 ,R 3 ),
r 5 =(R 1 ,L 2 ,L 3 ), r 6 =(R 1 ,L 2 ,R 3 ), r 7 =(R 1 ,R 2 ,L 3 ), r 8 =(R 1 ,R 2 ,R 3 ).
Jauktās stratēǧias varētu būt, piemēram, q(r 1 )= 1 3 , q(r 7)= 2 3
un visām
pārējām tīrajām stratēǧijām r: q(r) =0.
Uzvedības stratēǧija varētu būt, piemēram, σ 21 (L 1 ) = 1 3 , σ 21(R 1 ) = 2 3 ,
σ 22 (L 2 )=0,σ 22 (R 2 )=1,σ 23 (L 3 )= 1 2 , σ 23(R 3 )= 1 2 .
Jaukto un uzvedības stratēǧiju situācijās varam izrēķināt varbūtības, ar
kādām spēlēvarētu tikt sasniegts katrs no galamezgliem (12.2.zīmējums). Piemēram,
jauktajās stratēǧijās galapunkta e 1 sasniegšanas varbūtība ir w(l) · q(r 1 )=p · 1
3 ,
bet uzvedības stratēǧijās e 1 tiks sasniegts ar varbūtību w(l) · σ 21 (L 1 )=p · 1
3 .
q
σ 2
e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8
p 1 − p 2
3 3 3 p 2
(1 − p) 0 0 0 0
3
p 1 − p 2
3 3 3 p 2
(1 − p) 0 0 0 0
3
12.2.zīm.
Kā redzams, tad abas tabulas rindiņas ir vienādas. Tā navnejaušība, bet
tā būs arī nevienmēr. Spēkā iršāds rezultāts:
TEORĒMA. Spēlēs ar perfektu atmiņu jebkurai jauktai stratēǧijai eksistē
tāda uzvedības stratēǧija, kas dod vienus un tos pašus ieguvumus.
40