Algoritmen en Datastructuren III Partim: Parallelle algoritmen - caagt

24 Hoofdstuk 3. Het netwerkmodel
De kost van het algoritme is
(a) Q0 (b) Q1 (c) Q2 (d) Q3 Q4
Figuur 3.1: De hyperkubussen t.e.m. dimensie 4
Cp(n) = pΘ(n 2 /p+np) = Θ(n 2 + np 2 ),
zodat het algoritme kost-optimaal is voor p = Θ( √ n).
3.3.3 Rooster
Een veralgemening van de rijtopologie is het rooster (of mesh), dat p = m 2 processoren in een
m×m tweedimensionale loodrechte roosterstructuur plaatst, waarbij elke processor verbonden is
met zijn onmiddellijke buren (boven, onder, links en rechts), m.a.w. Pi, j is verbonden met Pi±1, j
en Pi, j±1 (waar die bestaan). Net zoals bij de rijtopologie, kan het rooster gesloten worden tot
een torus (of rooster met wrap-around), door de bovenste processor van elke kolom te verbinden
met de onderste, en de laatste processor van elke rij te verbinden met de eerste. In de jaren 1980
ontwierp Inmos een chip met 4 links, transputer genoemd, die dus perfect geschikt was voor het
bouwen van een rooster- of torustopologie.
De diameter van een rooster met p = m 2 processoren is 2 √ p − 2, dus Θ( √ p). De maximale
graad van elke processor is 4. Het aantal verbindingen is 2m(m − 1) = Θ(p). De connectiviteit
is 2.
Deze topologie heeft verscheidene eigenschappen die haar aantrekkelijk maken. Ze is eenvoudig,
regulier en uitbreidbaar. Bovendien zijn er verscheidene toepassingen waarbij de berekeningen
op natuurlijke wijze in een roosterstructuur gebeuren. Maar gelet op de grote diameter, zal een
berekening met niet-triviale communicatiestappen doorgaans Ω( √ p) parallelle stappen vereisen.
3.3.4 Hyperkubus
Een andere populaire topologie is de hyperkubus. Een nuldimensionale hyperkubus is één enkele
processor. Een d-dimensionale hyperkubus Qd, met d > 0, bestaat uit twee kopieën van
een (d − 1)-dimensionale hyperkubus Qd−1, waarbij de corresponderende toppen uit elke kopie
verbonden worden. Figuur 3.1 toont alle hyperkubussen t.e.m. dimensie 4.
De toppen in een d-dimensionale hyperkubus kunnen gelabeld worden met een binaire string van
d bits, op de volgende manier. De twee toppen van de eendimensionale hyperkubus worden met 0
Algoritmen en Datastructuren III Veerle.Fack@UGent.be