Algoritmen en Datastructuren III Partim: Parallelle algoritmen - caagt

50 Hoofdstuk 5. Parallelle sorteeralgoritmen
5.1 Sorteernetwerken
x
y
min(x,y)
max(x,y)
Figuur 5.1: Een vergelijkende poort
5.1.1 Wat zijn sorteernetwerken?
Sorteernetwerken zijn circuits die opgebouwd zijn uit één enkel type poort, nl. de vergelijkende
poort (of comparator gate). Deze poort krijgt als input twee getallen en ze geeft als output deze
getallen in volgorde terug. We tekenen een comparator als een boog tussen de twee lijnen die
worden vergeleken (zie Figuur 5.1).
Een sorteernetwerk is een circuit van vergelijkende poorten dat zijn input in stijgende volgorde
teruggeeft. We tekenen een sorteernetwerk als een verzameling lijnen, één voor elke input, met
de vergelijkende poorten toegevoegd tussen de lijnen. Vooraleer een poort kan reageren, moet ze
wachten tot al haar inputs beschikbaar zijn. Vergelijkende poorten waarvan de lijnen niet overlappen,
kunnen in parallel werken. Wanneer we een sorteernetwerk visualiseren, dan groeperen
we de comparatoren die in parallel kunnen werken. Ze vormen een laag van het netwerk. Elke
laag vereist één tijdseenheid om uitgevoerd te worden, aangezien alle poorten van een laag in
parallel kunnen werken. Het aantal poorten in de netwerk wordt de grootte van het netwerk
genoemd. De diepte van het netwerk is het aantal stappen dat nodig is opdat elke poort zijn
vergelijking uitgevoerd heeft.
Voorbeeld 5.1.1. Beschouw het netwerk uit Figuur 5.2(a). Dit heeft 5 poorten en sorteert 4 getallen
in 3 stappen. Het bestaat uit 3 lagen: de eerste en de tweede laag bestaan elk uit 2 vergelijkende
poorten, terwijl de derde laag uit 1 vergelijkende poort bestaat. Dit sorteernetwerk
heeft dus grootte 5 en diepte 3, hetgeen betekent dat de input na 3 stappen gesorteerd is. In
Figuur 5.2(b) wordt het sorteren van de getallen 17, 42, 23, 7 getoond.
Hoe kunnen we nu het probleem van het sorteren van n getallen algemeen oplossen? We bekijken
eerst een eenvoudiger probleem, nl. het bepalen van het grootste element van de inputs.
Daartoe vergelijken we eerst de eerste twee inputs, daarna het grootste hiervan met de derde
input, enzovoort, telkens het vorige resultaat vergelijkend met de volgende input, totdat we de
laatste lijn bereikt hebben. Voor 8 elementen bekomen we het netwerk van grootte en diepte 7
uit Figuur 5.3.
De 7 comparatoren op de diagonalen garanderen dat het grootste inputelement zijn weg vindt
naar de laatste lijn, waar het moet terechtkomen. Het idee achter het odd-even-transposition
netwerk is om vele dergelijke diagonalen te gebruiken.
Voorbeeld 5.1.2. Figuur 5.4 toont het odd-even-transposition netwerk voor n = 10. Dit netwerk
heeft diepte 10 en grootte 45.
Algoritmen en Datastructuren III Veerle.Fack@UGent.be