Algoritmen en Datastructuren III Partim: Parallelle algoritmen - caagt

5.2. Sorteren op interconnectienetwerken 61
stap 1
stap 2
stap 3
rijen sorteren (fase 1) kolommen sorteren (fase 2)
15 4 10 6 →
1 5 7 11 ←
12 14 13 8 →
9 16 2 3 ←
4 6 3 1 →
8 7 5 2 ←
11 9 10 14 →
16 12 13 15 ←
1 3 4 2 →
8 7 5 6 ←
9 10 11 12 →
16 15 13 14 ←
4 6 10 15
11 7 5 1
8 12 13 14
16 9 3 2
1 3 4 6
8 7 5 2
9 10 11 14
16 15 13 12
1 2 3 4
8 7 6 5
9 10 11 12
16 15 14 13
Figuur 5.14: De rij (15,4,10,6,1,5,7,11,12,14,13,8,9,16,2,3) sorteren op
een rooster van processoren met het shearsort algoritme
in een soort ‘ploegvoren’-volgorde (m.a.w. afwisselend in stijgende en dalende volgorde in de
rijen).
Voorbeeld 5.2.2. We gebruiken shearsort om de rij (15,4,10,6,1,5,7,11,12,14,13,8,9,16,2,3) te
sorteren. We kennen de getallen rij per rij aan de processoren van het rooster toe. Figuur 5.14
illustreert de verschillende stappen in het algoritme.
Om de correctheid van het shearsort algoritme te bewijzen, willen we het nul-een-principe gebruiken,
dat we in Paragraaf 5.1.4 invoerden. Het nul-een-principe werd weliswaar geformuleerd
voor sorteernetwerken, en niet voor algemene algoritmen (het is ook zo dat het niet werkt voor
algemene algoritmen). Maar shearsort is een zeer beperkt soort algoritme. Ten eerste is het een
vergelijk-en-verwissel algoritme, dat kan geïmplementeerd worden door enkel gebruik te maken
van vergelijkende poorten. Ten tweede is het ‘vergeetachtig’, in die zin dat het resultaat van
een vergelijking geen invloed heeft op de vergelijkingen die later gemaakt worden. Een dergelijk
algoritme kan als een sorteernetwerk geïmplementeerd worden, waardoor het nul-een-principe
ervoor geldt.
Stelling 5.2.3. Shearsort sorteert n 2 elementen in 2n(⌈log 2 n⌉+1) stappen op een n × n rooster.
Bewijs. We passen het nul-een-principe toe en controleren dat het algoritme werkt voor binaire
inputrijen.
Beschouwen we twee rijen 2i en 2i+1 na de rijsorteerfase. Aangezien rij 2i in stijgende volgorde
gesorteerd werd, start ze met een blok nullen en eindigt ze met een blok enen. Analoog
Algoritmen en Datastructuren III Veerle.Fack@UGent.be