Algoritmen en Datastructuren III Partim: Parallelle algoritmen - caagt

5.1. Sorteernetwerken 57
S2
S2
Figuur 5.9: De structuur van het sorteernetwerk S4
M4
4 1 1
1
3
2
4
2
3
Figuur 5.10: Werking van S4 bij het sorteren van (4,1,3,2)
plus 2s n/2. Aangezien Mn grootte nlog 2 n/2 heeft, krijgen we de volgende recurrente betrekking
voor sn:
sn = nlog 2 n/2+2s n/2.
Daaruit kunnen we gemakkelijk afleiden dat sn = Θ(nlog 2 n).
5.1.4 Het nul-een-principe voor sorteernetwerken
Om het achterliggende idee achter de constructie van sorteernetwerken te benadrukken, hebben
we de correctheid van de geziene sorteernetwerken tot nu toe rechtstreeks bewezen. In deze paragraaf
bespreken we een een tool die dergelijke bewijzen dikwijls vereenvoudigt, het zogenaamde
nul-een-principe.
Stelling 5.1.13. Als een sorteernetwerk correct werkt op alle mogelijke inputs bestaande uit
enkel nullen en enen, dan werkt het ook correct voor willekeurige inputs.
Deze stelling laat ons toe om sorteernetwerken te verifiëren door ze enkel op rijen van nullen en
enen te testen. Voor een netwerk met n inputs, betekent dit dat we hoogstens 2 n inputs moeten
testen, in tegenstelling tot oneindig veel.
Bewijs. Veronderstel dat er een sorteernetwerk is dat alle rijen van nullen en enen correct sorteert,
maar dat een zekere rij van getallen (a0,...,an−1) niet correct sorteert.
Zij (b0,...,bn−1) de output die het sorteernetwerk geeft wanneer het de rij (a0,...,an−1) als
input krijgt. Aangezien de output niet correct gesorteerd is, moet er een s < t bestaan waarvoor
Algoritmen en Datastructuren III Veerle.Fack@UGent.be
2
4
3
1
2
3
4