Algoritmen en Datastructuren III Partim: Parallelle algoritmen - caagt

40 Hoofdstuk 4. Ontwerptechnieken voor parallelle algoritmen
Algoritme 4.5 Berekening van prefixsommen op PRAM (recursieve formulering)
Input: rij (a1,...,an) met n = 2 ℓ , p = n processoren
Output: sk = ∑ k i=1 ai, voor 1 ≤ k ≤ n
1: if n = 1 then
2: Stel s1 ← a1
3: return
4: for i from 1 to n/2 pardo
5: Stel bi ← a2i−1 ⊕ a2i
6: Bereken recursief prefixsommen (c1...,c n/2) van (b1,...,b n/2)
7: for i from 1 to n pardo
8: case i = 1: Stel s1 ← a1
9: case i even: Stel si ← c i/2
10: case i oneven: Stel si ← c (i−1)/2 ⊕ ai
We bewijzen de correctheid van het algoritme door inductie, waarbij we veronderstellen dat de
inputgrootte n = 2 ℓ is. Het basisgeval k = 0 wordt correct behandeld door de eerste if-opdracht
van het algoritme. Onderstel nu dat het algoritme correct werkt voor alle rijen van lengte 2 k met
k > 0. We bewijzen dat het algoritme correct werkt voor alle rijen van lengte n = 2 k+1 .
Wegens de inductiehypothese bevatten de variabelen (c1...,c n/2), berekend in de recursieve
stap van het algoritme, de prefixsommen van de rij (b1,...,b n/2), waarbij bi ← a2i−1 ⊕ a2i, voor
1 ≤ i ≤ n/2. Meer bepaald is c j = c1 ⊕ c2 ⊕ ··· ⊕ c j, en dus c j = a1 ⊕ a2 ⊕ ··· ⊕ a2 j−1 ⊕ a2 j.
M.a.w. c j bevat precies de prefixsommen s2 j, voor 1 ≤ j ≤ n/2. Dus, voor i even, zij i = 2 j,
hebben we dat si = c i/2.
Anders is ofwel i = 1, ofwel i = 2 j+ 1, voor zekere 1 ≤ j ≤ n/2 − 1. Het geval i = 1 is triviaal.
Voor het geval i = 2 j+ 1, hebben we dat si = s2 j+1 = s2 j ⊕ a2 j+1 = c (i−1)/2 ⊕ ai.
M.a.w. alle gevallen worden correct afgehandeld in de case-opdracht van het algoritme. Hieruit
volgt dat het algoritme correct werkt.
Vervolgens bespreken we de complexiteit van het algoritme. De if-opdracht en de twee parallelle
for-lussen nemen elk Θ(1) parallelle tijd en vragen Θ(n) bewerkingen. De parallelle uitvoeringstijd
T(n) en het werk W(n) van het algoritme worden dus bepaald voor de volgende recurrente
betrekkingen:
T(n) = T(n/2)+Θ(1)
W(n) = W(n/2)+Θ(n)
De oplossingen van deze recurrente betrekkingen zijn:
Het algoritme is dus werk-optimaal.
T(n) = Θ(logn)
W(n) = Θ(n)
Algoritmen en Datastructuren III Veerle.Fack@UGent.be