Algoritmen en Datastructuren III Partim: Parallelle algoritmen - caagt

26 Hoofdstuk 3. Het netwerkmodel
dingsproces. Hieruit blijkt dat er in de tweede stap twee boodschappen op 11010 zijn, die over
dezelfde boog moeten verdergestuurd worden. Wanneer we zoals gebruikelijk veronderstellen
dat slechts één boodschap tegelijk over een kanaal kan verstuurd worden, wordt een van de boodschappen
hier vertraagd. Meer geavanceerde algoritmen zijn nodig om dergelijke problemen te
verhelpen.
De hyperkubus is een populaire topologie omwille van zijn regulariteit, zijn kleine diameter, zijn
verscheidene interessante graaf-theoretische eigenschappen, en het feit dat vele berekeningen
snel en eenvoudig op een hyperkubus kunnen worden uitgevoerd.
Een bijkomende reden is het feit dat andere netwerken er eenvoudig kunnen op gesimuleerd worden.
Bepaalde netwerken, zoals rijen, kunnen ingebed worden als deelgrafen van de hyperkubus.
Andere netwerken, zoals bomen, kunnen efficiënt gesimuleerd worden op de hyperkubus, als
we toelaten dat bogen ‘verwijd’ worden en dat toppen van de hyperkubus meerdere toppen uit
het oorspronkelijke netwerk simuleren. Algoritmen voor de hyperkubus kunnen dus dikwijls
aangepast worden om ook op andere architecturen te werken.
Een nadeel van het hyperkubusnetwerk is dat het duur is om het uit te breiden, omdat nieuwe
connecties aan elke processor moeten worden toegevoegd wanneer we de dimensie van de hyperkubus
verhogen. Hyperkubussen worden dus op hun beurt ingebed in netwerken die eenvoudiger
in hardware te realiseren zijn.
In de onderstaande voorbeelden ontwerpen we synchrone algoritmen voor enkele eenvoudige
problemen op de hyperkubus.
Voorbeeld 3.3.3 (Sommeren van een rij op de hyperkubus). Zij gegeven een rij (a0,...,an−1)
met n = 2d elementen, waarbij elke ai opgeslagen is in het lokale geheugen van processor Pi van
een (synchrone) d-dimensionale hyperkubus Qd. Gevraagd is de som s = ∑ n−1
i=0 ai te berekenen
en op te slaan op processor P0.
Het algoritme voor de berekening van s is rechtlijnig. Het bestaat uit d iteraties. De eerste iteratie
berekent de sommen van paren elementen tussen processoren waarvan de indices in de meest
significante bitpositie verschillen. Deze sommen worden opgeslagen in de (d − 1)-dimensionale
deelhyperkubus waarvan de meest significante adresbit gelijk aan 0 is. De andere iteraties gebeuren
op gelijkaardige wijze.
Algoritme 3.2 geeft de pseudocode voor processor Pi. Daarbij noteren we door i (ℓ) de index
i waarbij van bit ℓ het complement genomen werd. De instructie ai ← ai + a i (ℓ) vereist twee
deelstappen. In de eerste deelstap kopieert processor Pi de waarde a i (ℓ) van processor P i (ℓ) via de
link tussen Pi en P i (ℓ). In de tweede deelstap berekent processor Pi de waarde ai + a i (ℓ) en slaat
het resultaat op in ai.
Dit algoritme vereist d = log 2 n parallelle stappen.
Voorbeeld 3.3.4 (Broadcast op de hyperkubus). Beschouw het probleem van het doorsturen
van een item x van processor P0 naar alle andere processoren Pi van een hyperkubus met p processoren,
waarbij p = 2 d .
Algoritmen en Datastructuren III Veerle.Fack@UGent.be