Algoritmen en Datastructuren III Partim: Parallelle algoritmen - caagt

4.3. Partitionering / Merge 43
kleiner dan of gelijk is aan x. Zij Y = (y1,...,yk) een willekeurige rij van elementen uit S. Het
ranken van Y in X is het probleem van het bepalen van de rij rank(Y : X) = (r1,...,rk), waarbij
ri = rank(yi : X).
Zonder verlies van algemeenheid kunnen we veronderstellen dat alle elementen die in de gegeven
rijen A en B optreden, verschillend zijn. Meer bepaald komt geen enkele element van A voor in B.
Het probleem van mergen kan worden beschouwd als het bepalen van de rank van elk element x
uit A en B in de rij A ∪ B. Als rank(x : A ∪ B) = i, dan is ci = x, waarbij ci het i-de element van
de gewenste gesorteerde rij is. Aangezien rank(x : A ∪ B) = rank(x : A)+rank(x : B), kunnen
we het probleem van mergen oplossen door de twee gehele rijen rank(A : B) en rank(B : A) te
bepalen.
We beschrijven nu een algoritme om rank(B : A) te bepalen. Hetzelfde algoritme kan gebruikt
worden om rank(A : B) te bepalen. Zijn bi een willekeurig element van B. Aangezien A gesorteerd
is, kunnen we de rank van bi in A vinden door gebruik te maken van de binaire zoekmethode.
We vergelijken bi met het middelste element van A. Afhankelijk van de uitkomst van
deze vergelijking kunnen we het zoeken beperken tot de onderste of de bovenste helft van A. Dit
proces wordt herhaald totdat bi geïsoleerd is tussen twee opeenvolgende elementen van A, m.a.w.
a j(i) < bi < a j(i)+1, waarbij rank(bi : A) = j(i). Merk op dat we hier gebruik maken van het feit
dat de elementen van A en B allemaal verschillend zijn.
Dit algoritme bepaalt de rank van een willekeurig element van B in A in sequentiële tijd Θ(logn).
Het is onmiddellijk duidelijk dat we deze methode in parallel kunnen uitvoeren voor alle elementen
van B. Dit levert een parallel algoritme voor het bepalen van rank(B : A) met parallelle uitvoeringstijd
Θ(logn). Dit impliceert een parallel algoritme met uitvoeringstijd Θ(logn) voor het
mergen van twee rijen van lengte n. Het totaal aantal bewerkingen gebruikt door dit algoritme is
echter W(n) = Θ(nlogn), zodat het algoritme dus niet werk-optimaal is (aangezien sequentiële
algoritmen met lineaire uitvoeringstijd bestaan).
4.3.3 Parallel algoritme voor merge via partitioneren
Een werk-optimaal parallel algoritme kan als volgt bekomen worden. Kies ongeveer n/log 2 n
elementen elk uit A en B die A en B partitioneren in blokken van ongeveer gelijke grootte. Pas
de binaire zoekmethode toe om elk van de gekozen elementen te ranken in de andere rij. Deze
stap reduceert het probleem tot het mergen van een aantal paren van deelrijen, die elk Θ(logn)
elementen hebben. Dan kunnen we een optimaal sequentieel algoritme gebruiken om elk paar
deelrijen te mergen tot een gesorteerde deelrij, die deel uitmaakt van van de uiteindelijk gewenste
gesorteerde rij.
Bij het uitwerken van de details beperken we ons voor de eenvoud tot een lichtjes ander algoritme.
Algoritme 4.7 geeft de pseudocode voor het partitioneringsalgoritme, dat de belangrijkste
component van het gehele merge-algoritme zal uitmaken. In deze beschrijving veronderstellen
we niet dat de lengte van de twee deelrijen noodzakelijk gelijk zal zijn.
Volgende stelling bewijst de correctheid en de complexiteit van dit algoritme.
Algoritmen en Datastructuren III Veerle.Fack@UGent.be