Algoritmen en Datastructuren III Partim: Parallelle algoritmen - caagt

58 Hoofdstuk 5. Parallelle sorteeralgoritmen
Figuur 5.11: Het sorteernetwerk S8
bs > bt. We associëren een rij van nullen en enen met (a0,...,an−1), als volgt. Label elke ai die
kleiner is dan bs met een nul, en alle andere ai met een één.
We bewijzen zo meteen dat, wanneer we de rij (a0,...,an−1) en de rij van zijn labels gelijktijdig
door het sorteernetwerk laten verwerken, elke ai zijn label behoudt. Dit impliceert dat bs met
een 1 gelabeld is, en bt met een 0. Aangezien s < t, sorteert het netwerk dus de rij van labels niet
correct, hetgeen een strijdigheid oplevert, aangezien de labels nullen en enen zijn.
Blijft nog te bewijzen dat de labels van de inputelementen dezelfde blijven. Beschouw een
vergelijkende poort. Als zijn inputs allebei nul of allebei één zijn, dan geldt dit ook voor de
output. In het geval waarbij de inputs a < a ′ hebben, en a met 0 en a ′ met 1 gelabeld zijn,
verandert de vergelijkende poort niets aan a en a ′ , noch aan de labels. De andere mogelijkheid
is dat we inputs a > a ′ hebben, en dat a met een 1 en a ′ met een 1 gelabeld is – in dit geval
verwisselt de vergelijkende poort zowel de inputs a en a ′ als de labels, en ook hier blijven de
labels bij de oorspronkelijke elementen.
We kunnen nu het nul-een-principe gebruiken om aan te tonen dat het odd-even-transposition
netwerk dat we eerder introduceerden, correct werkt.
Stelling 5.1.14. Het odd-even-transposition netwerk sorteert rijen van lengte n in diepte n en
grootte Θ(n 2 ).
Bewijs. Neem n vast en beschouw het odd-even-transposition netwerk voor rijen van lengte n.
Wegens stelling 5.1.13 moeten we enkel aantonen dat het netwerk alle binaire inputrijen correct
sorteert.
We beschouwen een zekere willekeurige inputrij (a0,...,an−1) van lengte n. Zij ai de eerste nul
in deze rij, m.a.w. ai = 0 en ak = 1 voor alle k < i.
Als i even is, dan wordt ai vergeleken met ai+1 in de eerste laag van het netwerk, en er gebeurt
niets. Echter, in de tweede laag wordt ai vergeleken met ai−1 = 1, en de twee elementen worden
verwisseld. Aangezien alle elementen voor ai één zijn, zal ai vanaf dat punt naar voren bewegen
tot het de eerste lijn bereikt heeft. Als i oneven is, zal ai onmiddellijk beginnen aan zijn beweging
naar de eerste lijn, tot het die bereikt. Beide situaties worden geïllustreerd in Figuur 5.12.
Algoritmen en Datastructuren III Veerle.Fack@UGent.be