Algoritmen en Datastructuren III Partim: Parallelle algoritmen - caagt

46 Hoofdstuk 4. Ontwerptechnieken voor parallelle algoritmen
Algoritme 4.8 Bepalen van het maximum in constante tijd
Input: array A = (a1,...,ap) met p verschillende getallen
Output: boolean array M = (m1,...,mp) met mi = true als en slechts als ai het maximum van A
is
1: for 1 ≤ i, j ≤ p pardo
2: if ai ≥ a j then
3: Stel bi, j ← true
4: else
5: Stel bi, j ← false
6: for 1 ≤ i ≤ p pardo
7: mi ← bi,1 ∧ bi,2 ∧...bi,p
worden als het element dat in al zijn vergelijkingen de “winnaar” is. Daartoe houdt het algoritme
een tweedimensionale boolean array B = (bi, j) bij, die het resultaat van elke vergelijking
opslaat. Vervolgens wordt een array M opgebouwd. Wanneer het algoritme eindigt, heeft arrayelement
mi de waarde true als en slechts als element ai het grootste element uit A is.
Merk op dat dit algoritme concurrent read nodig heeft. Bovendien kan de tweede parallelle forlus
uitgevoerd worden in constante tijd, als we concurrent write toelaten. Dit algoritme werkt dus
in het CRCW PRAM-model in Θ(1) tijd en gebruikt Θ(p 2 ) bewerkingen. Dit levert de volgende
stelling.
Stelling 4.4.1. Het grootste van p elementen kan op CRCW PRAM bepaald worden in Θ(1)
parallelle tijd en Θ(p 2 ) bewerkingen.
4.4.3 Algoritme voor het maximum in dubbel-logaritmische tijd
In een gewortelde boom is het niveau van een top v bepaald door het aantal bogen op het pad
van de wortel naar v. De wortel heeft dus niveau 0. We definiëren nu de boom van dubbellogaritmische
diepte met n bladeren. Voor de eenvoud veronderstellen we dat n = 22k voor zekere
k geheel.
De wortel van de boom heeft √ n = 22k−1 kinderen, elk van die kinderen heeft op zijn beurt 22k−2 kinderen, enz. Algemeen, een top op niveau i heeft 22k−i−1 kinderen, voor 0 ≤ i ≤ k−1. Tenslotte
heeft elke top op niveau k nog 2 bladeren als kinderen.
Volgende eigenschappen zijn eenvoudig (evt. met behulp van inductie) te bewijzen:
(1) Het aantal toppen op niveau i is gegeven door n/2 2k−i
(2) Het aantal toppen op niveau k is gegeven door n/2 = 22k−1. (3) De diepte van de boom is k+ 1 = log 2 log 2 n+1
= 2 2k −2 k−i
, voor 0 ≤ i < k.
Algoritmen en Datastructuren III Veerle.Fack@UGent.be