Algoritmen en Datastructuren III Partim: Parallelle algoritmen - caagt

4.4. Accelerated cascading / Maximum bepalen 45
de rol van A). Deze stap kost Θ(loglogn) tijd en O(|Ai|) bewerkingen. We kunnen er dus voor
zorgen dat elke deelrij lengte Θ(logn) heeft, zonder de asymptotische complexiteit te verhogen.
Dit leidt tot de volgende stelling:
Stelling 4.3.2. Zij A en B twee gesorteerde rijen, elk van lengte n. Dan kunnen A en B via merge
samengevoegd worden in T(n) = Θ(logn) tijd en W(n) = Θ(n) bewerkingen.
Merk op dat Algoritme 4.7 de binaire zoekmethode gebruikt om tegelijkertijd meerdere elementen
van B in A te ranken. M.a.w. de mogelijkheid van concurrent read moet bestaan. Maar
concurrent write is voor dit algoritme niet nodig. Het algoritme werkt dus in het CREW PRAMmodel.
4.4 Accelerated cascading / Maximum bepalen
4.4.1 Bepalen van het maximum
Zoals reeds eerder gezien bestaat er een parallel algoritme voor het bepalen van het grootste
element uit een rij X = (x1,...,xn), dat gebruik maakt van de techniek van gebalanceerde bomen.
De parallelle uitvoeringstijd van dit algoritme is T(n)=Θ(logn) en het totale aantal bewerkingen
is W(n) = Θ(n). Dit algoritme is werk-optimaal, want het optimale sequentiële algoritme voor
dit probleem heeft lineaire uitvoeringstijd.
Dit probleem is een interessant voorbeeld van de strategie van accelerated cascading. Deze
techniek bestaat uit het combineren van een traag maar optimaal algoritme met een snel maar
niet-optimaal algoritme, tot een snel en optimaal algoritme.
We bekijken nu hoe we een sneller parallel algoritme voor het bepalen van het maximum kunnen
bekomen. Daartoe gebruiken we, in plaats van een gebalanceerde binaire boom (die logaritmische
diepte heeft), een boom van dubbel-logaritmische diepte. We construeren een gebalanceerde
boom met als bladeren de waarden xi, zodanig dat het aantal kinderen van een top gelijk
is aan ⌈ √ nv⌉, waarbij nv het aantal bladeren in een deelboom met wortel v voorstelt. Elke interne
top wordt gebruikt om het grootste element van zijn deelboom bij te houden. Voorwaarden op
het aantal kinderen van een top zullen er voor zorgen dat de boom dubbel-logaritmische diepte
heeft. Het welslagen van deze strategie hangt af van het bestaan van een parallel algoritme met
constante uitvoeringstijd voor het uitvoeren van de bewerking voorgesteld door een interne top,
m.a.w. het bepalen van het grootste van een willekeurig aantal elementen. We bespreken dus
eerst het ontwerpen van dergelijk algoritme.
4.4.2 Bepalen van het maximum in constante tijd
Zij A een rij van p elementen, waarvan we het grootste moeten bepalen. In Algoritme 4.8 gebeurt
een vergelijking tussen elk paar elementen van A. Het grootste element kan geïdentificeerd
Algoritmen en Datastructuren III Veerle.Fack@UGent.be