Algoritmen en Datastructuren III Partim: Parallelle algoritmen - caagt

5.1. Sorteernetwerken 53
Figuur 5.5: Het netwerk D16.
Voor de eenvoud van de presentatie veronderstellen we voor de rest van deze paragraaf dat n een
macht van 2 is.
We bouwen een netwerk Dn dat zijn input beschouwt als bestaande uit twee helften en dat elke
element van de eerste helft vergelijkt met een element uit de tweede helft. Meer precies wordt
elk element ai vergeleken met a i+n/2, waarbij 0 ≤ i < n/2. Algemeen heeft Dn grootte n/2 en
diepte 1 (aangezien alle vergelijkende poorten in parallel kunnen werken). Figuur 5.5 toont D16.
Voorbeeld 5.1.4. Wanneer we D8 de inputrij (4,5,6,7,8,9,12,3) geven, dan geeft het als output
(4,5,6,3,8,9,12,7). Voor inputrij (5,6,7,8,9,12,3,4) geeft het (5,6,3,4,9,12,7,8). Voor
(6,7,8,9,12,3,4,5) geeft het (6,3,4,5,12,7,8,9).
Beschouwen we de twee helften van de outputrijen in bovenstaande voorbeelden. Merk op dat
D8 een cyclisch stijgende rij opsplitst in twee cyclisch stijgende deelrijen, waarbij alle elementen
uit de eerste deelrij kleiner zijn dan de elementen in de tweede deelrij.
Lemma 5.1.5. Wanneer de input voor Dn een cyclisch stijgende rij is, dan bestaat de output
(b0,...,bn−1) uit twee cyclisch stijgende rijen (b0,...,b n/2−1) en (b n/2,...,bn−1), zodanig dat
bi ≤ b j voor 0 ≤ i < n/2 ≤ j < n, m.a.w. elk element van (b0,...,b n/2−1) is kleiner dan (of gelijk
aan) elk element van (b n/2,...,bn−1).
Bewijs. Aangezien a cyclisch stijgend is, weten we dat er een index m bestaat, zodanig dat
am,...,an−1,a0,...,am−1 stijgend is; mogelijks is m = 0. Beschouw de rij voorgesteld op een
cirkel, met een lijn door het centrum die het grootste en het kleinste element scheidt. Deze lijn
splitst de cirkel in twee helften en we merken op dat elk element in de helft die het kleinste
element bevat hoogstens zo groot is als elk element in de helft die het grootste element bevat,
aangezien de elementen groter worden wanneer we in wijzerzin van het kleinste naar het grootste
element bewegen.
Het netwerk Dn berekent
bi = min(ai,a i+n/2) en b i+n/2 = max(ai,a i+n/2).
Gevisualiseerd op een cirkel betekent dit bijvoorbeeld dat b0 de kleinste en b n/2 de grootste is van
de twee elementen aan beide uiteinden van de pijl. Hetzelfde geldt voor bi en b i+n/2, wanneer we
Algoritmen en Datastructuren III Veerle.Fack@UGent.be