Algoritmen en Datastructuren III Partim: Parallelle algoritmen - caagt

56 Hoofdstuk 5. Parallelle sorteeralgoritmen
Figuur 5.7: De structuur van het merging netwerk M8
Figuur 5.8: Het netwerk M4, links met en rechts zonder snijdende lijnen
Stelling 5.1.11. We kunnen een netwerk van diepte log 2 n en grootte nlog 2 n/2 construeren voor
het mergen van twee gesorteerde rijen.
Gebruik makende van de merging netwerken kunnen we nu een sorteernetwerk Sn bouwen dat
voor algemene rijen werkt. Hiertoe gebruiken we het idee van mergesort. Zij S1 een enkele lijn.
Uit S1 bouwen we S2 door M2 op de twee lijnen toe te passen. Aangezien een enkele input een
gesorteerde rij is, sorteert S2 rijen van lengte 2 correct. Analoog bouwen we S4 door twee kopies
van S2 te nemen om de twee helften van de input te sorteren, en vervolgens de gesorteerde helften
te mergen met M4 (zie Figuur 5.9). Figuur 5.10 illustreert de werking van S4 op de voorbeeldrij
(4,1,3,2).
Algemeen bouwen we op dezelfde manier uit twee S n/2 en één Mn een sorteernetwerk Sn. Figuur
5.11 toont het sorteernetwerk S8.
Stelling 5.1.12. Het netwerk Sn is een sorteernetwerk van diepte Θ(log 2 n) en grootte Θ(nlog 2 n)
dat een gegeven rij van lengte n correct sorteert.
Bewijs. We bewijzen de stelling door inductie op n. S1 is correct, aangezien het maar 1 input
heeft. Zij n een eigenlijke macht van 2. Als inductiehypothese veronderstellen we dat S n/2 een
inputrij van lengte n/2 correct sorteert. Dan sorteert Sn eerst elke helft van zijn inputrij met
behulp van S n/2, hetgeen wegens de inductiehypothese correct gebeurt. Vervolgens voegt Sn de
twee gesorteerde deelrijen samen tot een gesorteerde rij met behulp van een (correct werkend)
merging netwerk Mn. Dit levert een gesorteerde rij van lengte n.
De diepte van Sn is de som van de dieptes van Mn,M n/2,M n/4,...,M1, d.i. log 2 n+log 2 (n/2)+
log 2 (n/4)+··· = Θ(log 2 n). Zij sn de grootte van Sn, dan is sn gegeven door de grootte van Mn
Algoritmen en Datastructuren III Veerle.Fack@UGent.be
B8