Algoritmen en Datastructuren III Partim: Parallelle algoritmen - caagt

More documents

Recommendations

Info

58 Hoofdstuk 5. Parallelle sorteeralgoritmen Figuur 5.11: Het sorteernetwerk S8 bs > bt. We associëren een rij van nullen en enen met (a0,...,an−1), als volgt. Label elke ai die kleiner is dan bs met een nul, en alle andere ai met een één. We bewijzen zo meteen dat, wanneer we de rij (a0,...,an−1) en de rij van zijn labels gelijktijdig door het sorteernetwerk laten verwerken, elke ai zijn label behoudt. Dit impliceert dat bs met een 1 gelabeld is, en bt met een 0. Aangezien s < t, sorteert het netwerk dus de rij van labels niet correct, hetgeen een strijdigheid oplevert, aangezien de labels nullen en enen zijn. Blijft nog te bewijzen dat de labels van de inputelementen dezelfde blijven. Beschouw een vergelijkende poort. Als zijn inputs allebei nul of allebei één zijn, dan geldt dit ook voor de output. In het geval waarbij de inputs a < a ′ hebben, en a met 0 en a ′ met 1 gelabeld zijn, verandert de vergelijkende poort niets aan a en a ′ , noch aan de labels. De andere mogelijkheid is dat we inputs a > a ′ hebben, en dat a met een 1 en a ′ met een 1 gelabeld is – in dit geval verwisselt de vergelijkende poort zowel de inputs a en a ′ als de labels, en ook hier blijven de labels bij de oorspronkelijke elementen. We kunnen nu het nul-een-principe gebruiken om aan te tonen dat het odd-even-transposition netwerk dat we eerder introduceerden, correct werkt. Stelling 5.1.14. Het odd-even-transposition netwerk sorteert rijen van lengte n in diepte n en grootte Θ(n 2 ). Bewijs. Neem n vast en beschouw het odd-even-transposition netwerk voor rijen van lengte n. Wegens stelling 5.1.13 moeten we enkel aantonen dat het netwerk alle binaire inputrijen correct sorteert. We beschouwen een zekere willekeurige inputrij (a0,...,an−1) van lengte n. Zij ai de eerste nul in deze rij, m.a.w. ai = 0 en ak = 1 voor alle k < i. Als i even is, dan wordt ai vergeleken met ai+1 in de eerste laag van het netwerk, en er gebeurt niets. Echter, in de tweede laag wordt ai vergeleken met ai−1 = 1, en de twee elementen worden verwisseld. Aangezien alle elementen voor ai één zijn, zal ai vanaf dat punt naar voren bewegen tot het de eerste lijn bereikt heeft. Als i oneven is, zal ai onmiddellijk beginnen aan zijn beweging naar de eerste lijn, tot het die bereikt. Beide situaties worden geïllustreerd in Figuur 5.12. Algoritmen en Datastructuren III Veerle.Fack@UGent.be
5.1. Sorteernetwerken 59 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 (a) Eerste 0 beweegt naar lijn 1 (b) Vertraging van 1 stap Figuur 5.12: Het nul-een-principe voor het odd-even-transposition netwerk 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Figuur 5.13: Sorteren van (1,1,0,1,0,0) met het odd-even-tranposition netwerk Algemeen kunnen we drie toestanden voor elke 0 in de rij onderscheiden: “geblokkeerd”, “in beweging” en “aangekomen”. Er zijn twee gevallen van blokkeringen die een 0 beletten om naar zijn plaats te bewegen: ofwel in verkeerde fase zitten (zoals de eerste nul op een even lijn in Figuur 5.12), ofwel worden opgehouden door een voorafgaande 0 die nog niet beweegt. Door inductie kunnen we aantonen dat de k-de nul in de rij ten laatste in de (k+1)-de laag begint te bewegen, totdat ze haar positie bereikt heeft. Immers, zoals reeds eerder uitgelegd, begint de eerste 0 te bewegen in de eerste of tweede laag, en dan beweegt ze onmiddellijk verder naar haar uiteindelijke positie (aangezien er geen blokkerende nullen vooraf kunnen gaan). De tweede nul kan enkel door de eerste nul worden geblokkeerd, wanneer de eerste nul nog niet aan het bewegen is. Dus begint de tweede nul ofwel in de tweede ofwel in de derde laag te bewegen, m.a.w. ten laatste in de derde laag. Algemeen kan de k-de nul enkel worden geblokkeerd door de voorafgaande nullen, die allemaal ten laatste in de k-de laag beginnen te bewegen. Dus, afhankelijk van de fase, zal de k-de nul beginnen bewegen in de k-de of in de (k+ 1)-de laag. De k-de nul kan hoogstens n − k posities van zijn uiteindelijk positie verwijderd zijn. Aangezien ze ten laatste in de (k+ 1)-de laag begint te bewegen, zijn er dan nog n − k lagen over waarin ze naar haar uiteindelijke positie kan bewegen. Voorbeeld 5.1.15. We bekijken het sorteren van de rij (1,1,0,1,0,0) op het odd-even-transposition netwerk. Figuur 5.13 toont de werking van het netwerk. Algoritmen en Datastructuren III Veerle.Fack@UGent.be 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1
Page 1 and 2:
Algoritmen en Datastructuren III Pa
Page 3 and 4:
ii INHOUDSOPGAVE 3.4.1 One-to-all b
Page 5 and 6:
Hoofdstuk 1 Inleiding In dit gedeel
Page 7 and 8:
1.1. Parallelle algoritmen ontwerpe
Page 9 and 10:
1.2. Modellen van parallelle comput
Page 11 and 12: Hoofdstuk 2 Het gedeelde-geheugenmo
Page 13 and 14: 2.1. Het gedeelde-geheugenmodel 9 A
Page 15 and 16: 2.2. De Parallel Random-Access Mach
Page 17 and 18: 2.2. De Parallel Random-Access Mach
Page 19 and 20: 2.3. Het werk-tijd-paradigma 15 ren
Page 21 and 22: 2.3. Het werk-tijd-paradigma 17 Alg
Page 23 and 24: Hoofdstuk 3 Het netwerkmodel In dit
Page 25 and 26: 3.3. Interconnectienetwerken 21 van
Page 27 and 28: 3.3. Interconnectienetwerken 23 Alg
Page 29 and 30: 3.3. Interconnectienetwerken 25 010
Page 31 and 32: 3.4. Communicatie-algoritmen 27 Alg
Page 33 and 34: 3.4. Communicatie-algoritmen 29 Dit
Page 35 and 36: 3.4. Communicatie-algoritmen 31 sam
Page 37 and 38: 3.5. Gedistribueerde algoritmen 33
Page 39 and 40: Hoofdstuk 4 Ontwerptechnieken voor
Page 41 and 42: 4.1. Pipelining / Sorteren & Priemz
Page 43 and 44: 4.2. Gebalanceerde bomen / Prefixso
Page 45 and 46: 4.2. Gebalanceerde bomen / Prefixso
Page 47 and 48: 4.3. Partitionering / Merge 43 klei
Page 49 and 50: 4.4. Accelerated cascading / Maximu
Page 51 and 52: 4.4. Accelerated cascading / Maximu
Page 53 and 54: Hoofdstuk 5 Parallelle sorteeralgor
Page 55 and 56: 5.1. Sorteernetwerken 51 (a) Een so
Page 57 and 58: 5.1. Sorteernetwerken 53 Figuur 5.5
Page 59 and 60: 5.1. Sorteernetwerken 55 bestaan zo
Page 61: 5.1. Sorteernetwerken 57 S2 S2 Figu
Page 65 and 66: 5.2. Sorteren op interconnectienetw
Page 67: 5.3. PRAM-varianten van klassieke s
show all

Algoritmen en Datastructuren III Partim: Parallelle algoritmen - caagt

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?