Algoritmen en Datastructuren III Partim: Parallelle algoritmen - caagt

4.2. Gebalanceerde bomen / Prefixsommen 41
Algoritme 4.6 Berekening van prefixsommen op PRAM (niet-recursieve formulering)
Input: rij (a1,...,an) met n = 2 ℓ
Output: tabel C: c0,k = sk = ∑ k j=1 a j (1 ≤ k ≤ n)
1: for i from 1 to n pardo
2: Stel b0,i ← ai
3: for h from 1 to log 2 n do
4: for j from 1 to n/2 h pardo
5: Stel bh, j ← bh−1,2 j ⊕ bh−1,2 j+1
6: for h from log 2 n to 0 do
7: for j from 1 to n/2 h pardo
8: case j = 1: Stel ch,0 ← bh,0
9: case j even: Stel ch, j ← c h+1, j/2
10: case j oneven: Stel ch, j ← c h+1,( j−1)/2 ⊕ bh, j
Tot slot bespreken we een niet-recursieve versie van Algoritme 4.5. Daarbij gebruiken we twee
hulpvariabelen voor het bijhouden van de gebalanceerde boom. De tabel (bh, j), met 0 ≤ h ≤
log 2 n en 1 ≤ j ≤ n/2 h , wordt opgebouwd tijdens het voorwaarts doorlopen van de boom. De
tabel (ch, j) met 0 ≤ h ≤ log 2 n en 1 ≤ j < n/2 h , wordt opgebouwd tijdens het achterwaarts
doorlopen van de boom. Merk op dat deze hulpvariabelen niet echt nodig zijn en dat het algoritme
in-place kan worden uitgevoerd.
4.2.4 Berekenen van prefixsommen op een rooster
We veronderstellen dat de rij getallen verdeeld is over de rijen van het rooster. Dan kunnen de
prefixsommen als volgt berekend worden. Elke rij van het rooster doet een rijrotatie; hierdoor
bevat elke rechtse processor van een rij de som van de getallen op zijn rij. Vervolgens doet de
rechterkolom van het rooster een kolomrotatie, hetgeen ervoor zorgt dat deze processoren de
correcte prefixsom bevatten. Dan stuurt elke rechtse processor van een rij zijn prefixsom naar
zijn onderbuur. Tot slot doet elke rij (behalve de eerste) weer een rijrotatie. Hierdoor bevat
uiteindelijk elke processor de correcte prefixsom.
Beschouwen we de performantie van dit algoritme. Zij p = n. De parallelle uitvoeringstijd is
Tp(n) = Θ( √ p) = Θ( √ n). De kost is Cp(n) = Θ(p 3/2 ) = Θ(n 3/2 ). M.a.w. het algoritme is niet
kost-optimaal.
Om het algoritme te optimaliseren bepalen we de waarde van p waarvoor p 3/2 = n, of m.a.w.
p = n 2/3 . Dan hebben we een rooster van n 1/3 × n 1/3 processoren, en elke processor verwerkt
n 1/3 elementen sequentieel. De parallelle uitvoeringstijd van dit aangepaste algoritme is Tp(n) =
Θ( √ p+n 1/3 ) = Θ(n 1/3 ). De kost is Cp(n) = Θ(p × n 1/3 ) = Θ(n), en het aangepaste algoritme
is dus kost-optimaal.
Algoritmen en Datastructuren III Veerle.Fack@UGent.be