Algoritmen en Datastructuren III Partim: Parallelle algoritmen - caagt

42 Hoofdstuk 4. Ontwerptechnieken voor parallelle algoritmen
4.2.5 Berekenen van prefixsommen op een hyperkubus
Zij gegeven een rij (a0,...,an−1) met n = 2 d elementen, waarbij elke ak opgeslagen is in het
lokale geheugen van processor Pk van een hyperkubus Qd. Gevraagd is de prefixsom sk = ∑ k i=0 ai
te berekenen en op te slaan in Pk, voor alle 0 ≤ k < n.
Het algoritme volgt de gebruikelijke werkwijze op de hyperkubus, nl. via communicatie in elke
dimensie, gaande van de laagste naar de hoogste dimensie. Elke processor Pk houdt twee waarden
xk en yk bij. Initieel krijgen xk en yk beiden de waarde ak. Beschouwen we nu stap i uit het
algoritme. Zij processoren Pk en Pℓ buren in dimensie i, k < ℓ. Dan wisselen Pk en Pℓ hun
waarden yk en yℓ uit. Processor Pk houdt zijn oorspronkelijke waarde van xk en vervangt yk door
yk ⊕yℓ. Processor Pℓ vervangt zijn waarde van xℓ door xℓ ⊕yk en vervangt ook yℓ door yk ⊕yℓ. Na
d = log 2 n stappen, een in elke dimensie, bevat elke xk uiteindelijk de gevraagde prefixsom sk.
4.3 Partitionering / Merge
4.3.1 Techniek van partitioneren
De techniek van partitioneren bestaat in
(1) het opsplitsen van het gegeven probleem in p onafhankelijke deelproblemen die ongeveer
even groot zijn, waarbij p het aantal beschikbare processoren is, en
(2) het oplossen in parallel van deze deelproblemen.
In zijn eenvoudigste vorm bestaat deze strategie in het opsplitsen van de inputgegevens in p nietoverlappende
stukken, gevolgd door het in parallel oplossen van de deelproblemen geassocieerd
met deze p stukken. In de meeste gevallen zal het opsplitsen van het probleem in onafhankelijke
deelproblemen echter niet zo eenvoudig zijn.
We illustreren deze techniek bij het mergen van twee gesorteerde rijen. Zij A = (a1,...,an)
en B = (b1,...,bn) twee niet-dalende rijen van elementen uit een geordend universum S. We
beschouwen het probleem van het samenvoegen van deze twee rijen tot één enkele gesorteerde
rij C = (c1,...,c2n). Er zijn eenvoudige sequentiële algoritmen voor dit probleem die lineaire
tijd vereisen. Onze bedoeling hier is het opstellen van een parallelle oplossing die gebaseerd is
op het partitioneren van rijen A en B in meerdere paren van deelrijen op zodanige manier dat we
de gesorteerde rij C kunnen bekomen door in parallel de paren van deelrijen te mergen.
4.3.2 Een eenvoudig merge-algoritme
We beginnen met enkele definities. Zij X = (x1,...,xn) een rij elementen uit het universum S.
Zij x ∈ S. De rank van x in X, genoteerd als rank(x : X) is het aantal elementen van X dat
Algoritmen en Datastructuren III Veerle.Fack@UGent.be