Algoritmen en Datastructuren III Partim: Parallelle algoritmen - caagt

52 Hoofdstuk 5. Parallelle sorteeralgoritmen
Een odd-even-transposition netwerk op n lijnen is gebouwd uit twee soorten koppelingen van de
lijnen. Wanneer we de lijnen nummeren van 1 tot n, dan worden in de eerste soort koppeling
vergelijkingen tussen lijnen 1 en 2, 3 en 4, 5 en 6, enz. aangebracht. In de tweede soort koppeling
worden vergelijkingen tussen lijnen 2 en 3, 4 en 5, enz. aangebracht. We alterneren deze
koppelingen n − 2 keer, hetgeen een netwerk van diepte n oplevert.
Stelling 5.1.3. Het odd-even-transposition netwerk sorteert n getallen in n stappen met Θ(n 2 )
poorten.
(Bewijs als oefening)
Het odd-even-transposition netwerk is sneller dan de beste sequentiële algoritmen, maar de versnelling
met factor O(logn) is bekomen ten koste van Θ(n 2 ) poorten. De vraag is of we het
netwerk kunnen verbeteren, zowel in diepte als in grootte. Dit blijkt een moeilijk probleem te
zijn.
In het PRAM-model bestaat er een gecompliceerde parallelle versie van het mergesort-algoritme
dat sorteert in O(logn) parallelle tijd en O(nlogn) werk (een algoritme dat we hier niet bespreken).
Voor lange tijd bestond er een conjectuur (o.a. door Knuth) dat deze grenzen niet met
een sorteernetwerk konden worden bereikt. In 1983 echter construeerden Ajtai, Komlós en Szemerédi
een sorteernetwerk van diepte O(logn) en grootte O(nlogn). Hun constructie is echter
zeer ingewikkeld en van weinig praktisch belang.
Onze bedoeling in dit hoofdstuk is het bespreken van een sorteernetwerk, geconstrueerd door
Batcher, dat diepte O(log 2 n) en grootte O(nlog 2 n) heeft. Batcher gebruikte een verdeel-enheers
strategie voor het sorteren: een inputrij wordt in twee helften gesplitst, recursief gesorteerd,
en dan worden de helften samengevoegd (gemerged). De taak van het efficiënt mergen van twee
gesorteerde rijen tot één gesorteerde rij blijkt moeilijker te zijn op sorteernetwerken dan voor
algemene algoritmen. Om dit probleem op te lossen, bekijken we eerst hoe een sorteernetwerk
voor speciale rijen, nl. de bitonische rijen, kan worden geconstrueerd. Daarna passen we dit
sorteernetwerk toe om twee gesorteerde rijen te mergen en vervolgens gebruiken we dat netwerk
om een algemeen sorteernetwerk te construeren.
5.1.2 Bitonisch sorteren
We benaderen het sorteerprobleem door het eerst op te lossen voor eenvoudige inputrijen. De
meest eenvoudige inputrij is een rij die reeds in stijgende volgorde gesorteerd is, want daar is er
geen werk te doen. In een volgende stap beschouwen we rijen die rotaties van gesorteerde rijen
zijn. We noemen een dergelijke rij (a0,...,an−1) cyclisch stijgend als er een index i bestaat zodanig
dat (ai,...,an−1,a0,...,ai−1) stijgend is. Merk op dat dit voor i = 0 betekent dat de rij zelf
stijgend is. Bijvoorbeeld, de rijen (92,78,92) en (12,23,31,4,7) zijn cyclisch stijgend, terwijl
de rijen (1,3,1,3) en (12,3,2) dit niet zijn. Een cyclisch stijgende rij kan worden gevisualiseerd
door zijn getallen op de omtrek van een cirkel te schrijven en het eerste element in de rij door
een pijl te laten aanwijzen.
Algoritmen en Datastructuren III Veerle.Fack@UGent.be