Algoritmen en Datastructuren III Partim: Parallelle algoritmen - caagt

54 Hoofdstuk 5. Parallelle sorteeralgoritmen
Figuur 5.6: Het netwerk B16
de pijl in wijzerzin roteren over i posities. We kunnen de berekening van de output dus bekijken
als het roteren van de pijl, stap voor stap voor n/2 − 1 keer, vanaf zijn beginpositie.
Merk op dat de uiteinden van de pijl steeds in tegenovergestelde helften van de cirkel liggen.
Aangezien alle elementen in de ene helft hoogstens zo groot zijn als alle elementen in de andere
helft, betekent dit dat bi = min(ai,a i+n/2) steeds genomen wordt uit de helft met het minimum,
terwijl b i+n/2 = max(ai,a i+n/2) steeds genomen wordt uit de helft met het maximum. Dit impliceert
dat alle elementen van (b0,...,b n/2−1) kleiner (of gelijk) zijn dan alle elementen van
(b n/2,...,bn−1). Bovendien zijn beide deelrijen cyclisch stijgend, omdat ze elk een rotatie van
een deelrij van de oorspronkelijke rij zijn.
Samenvattend, het netwerk Dn verdeelt een cyclisch stijgende rij van lengte n in twee cyclisch
stijgende deelrijen van lengte n/2, zodanig dat elk element in de eerste deelrij kleiner is dan
elk element in de tweede deelrij. We kunnen nu D n/2 op elke deelrij gebruiken om de deelrijen
verder te verwerken. Wanneer we dit proces recursief verderzetten, bekomen we een netwerk Bn
dat cyclisch stijgende rijen sorteert. Figuur 5.6 geeft B16.
Lemma 5.1.6. Het netwerk Bn is een sorteernetwerk voor cyclisch stijgende rijen. Het heeft
diepte log 2 n en grootte nlog 2 n.
Bewijs. We bewijzen de correctheid door inductie op n. Het gestelde geldt voor n = 1, want B1
is een lijn zonder comparatoren. Zij nu n een eigenlijke macht van 2. Door de inductiehypothese
kunnen we veronderstellen dat B n/2 cyclisch stijgende rijen van lengte n/2 correct sorteert. Beschouw
een cyclisch stijgende rij als input voor Bn. Wegens Lemma 5.1.5 verdeelt Dn deze rij in
twee cyclisch stijgende rijen, waarbij elk element van de eerste deelrij kleiner is dan elk element
van de tweede rij. Dus, aangezien beide deelrijen correct worden gesorteerd door B n/2, wordt de
ganse rij correct gesorteerd.
Merk op dat Bn meer doet dan enkel cyclisch stijgende rijen sorteren; het sorteert ook zgn.
bitonische rijen correct. Een bitonische rij is een rij die een rotatie is van een rij die eerst
stijgend is en dan dalend. Meer formeel: (a0,...,an−1) is bitonisch wanneer er een m en een c
Algoritmen en Datastructuren III Veerle.Fack@UGent.be