Algoritmen en Datastructuren III Partim: Parallelle algoritmen - caagt

60 Hoofdstuk 5. Parallelle sorteeralgoritmen
5.2 Sorteren op interconnectienetwerken
In deze paragraaf bespreken we mogelijke sorteeralgoritmen op netwerktopologieën, zoals de rij,
het rooster en de hyperkubus.
5.2.1 Odd-even-transpositionsorteren op een rij van processoren
Op een rij processoren kunnen we het odd-even-transposition sorteeralgoritme dat we eerder
zagen, implementeren. Elke processor houdt een teller bij om te weten of het system zich
momenteel in een even of oneven fase bevindt. Om een vergelijkende poort te implementeren
moeten twee processoren samenwerken en mogelijks hun elementen uitwisselen. In een even
fase werken de even processoren samen met hun rechterburen, m.a.w. de paren (0,1), (2,3), (4,5)
enzovoort, en de even processoren ontvangen het kleinste element. In een oneven fase werken
de even processoren samen met hun linkerburen, m.a.w. de paren (1,2), (3,4), (5,6), enzovoort.
Na n stappen stoppen alle processoren. Op dat moment hebben ze de n fasen van het odd-eventransposition
netwerk gesimuleerd.
De correctheid van dit algoritme volgt onmiddellijk uit de correctheid van het odd-even-transposition
netwerk, bewezen in Stelling 5.1.3.
Stelling 5.2.1. We kunnen n getallen op een rij van n processoren sorteren in lineaire tijd m.b.v.
het odd-even-transposition sorteeralgoritme.
5.2.2 Bitonisch sorteren op de hyperkubus
Wanneer we de inputlijnen van een bitonisch sorteernetwerk met n = 2 d inputlijnen labelen met
de d-bitstrings 0...0 t.e.m. 1...1, dan bekomen we een rechtstreekse mapping tussen de inputlijnen
van het sorteernetwerk en de processoren in een hyperkubus van dimensie d. Merk op dat
de vergelijkingen tussen elementen die het bitonisch sorteernetwerk uitvoert, telkens gebeuren
tussen inputlijnen waarvan het label in slechts één bitpositie verschilt. M.a.w. deze vergelijkingen
gebeuren tussen processoren die in de hyperkubus rechtstreeks verbonden zijn, en er is geen
extra communicatie-overhead voor routing nodig.
5.2.3 Shearsort op een rooster van processoren
Vervolgens bekijken we een sorteeralgoritme op het rooster. Het algoritme wordt shearsort genoemd
en het sorteert in twee fasen die ⌈log 2 n⌉+1 keer herhaald worden. In de rijsorteerfase
worden alle rijen van het rooster gesorteerd met behulp van het odd-even-transposition sorteeralgoritme
voor rijen van processoren. De rijen worden afwisselend in stijgende en dalende volgorde
gesorteerd. In de kolomsorteerfase sorteren we alle kolommen in stijgende volgorde. Na
hoogstens ⌈log 2 n⌉+1 herhalingen van deze fasen zijn de elementen in het rooster gesorteerd,
Algoritmen en Datastructuren III Veerle.Fack@UGent.be