O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

Introdução
Apresentamos neste trabalho um tratamento do teorema de Stokes, tanto para
aplicações em superfícies do R 3 quanto sua generalizações em superfícies abstratas de
dimensões arbitrariamente grandes, chamadas variedades.
No capítulo 1 começamos introduzindo o conceito de integral de linha, mo-
tivado pelo cálculo do trabalho realizado por uma força ao deslocar uma partícula no
espaço. E em seguida, apresentamos os teoremas de Green, de Stokes e de Gauss.
Optamos por fazer um tratamento dos teoremas do capítulo 1 de forma in-
dependente das formas diferenciais, pois julgamos interessante fazê-lo do ponto de vista
do cálculo usual para duas e três variáveis, simplificando alguns resultados e tornando
possível a apresentação dos teoremas sem muitos pré-requisitos.
No capítulo 2 iniciamos com uma pequena introdução à algebra das aplicações
multilineares, enfatizando em particular as aplicações alternadas, motivando muitos dos
resultados a respeito das formas diferenciais, que estabelecemos na sessão 2.2. Nomeamos
a sessão 2.1 por Formas Alternadas pelo fato de que consideramos apenas aplicações da
forma T : V ×· · ·×V → R, isto é, com contradomínio real. E em particular, tais aplicações
são comumente denominadas formas, na literatura consultada.
O capítulo 3 fecha o texto principal, apresentando duas sessões, onde a primeira
é dedicada ao conceito de variedade diferenciável, e a segunda dedicada ao teorema de
Stokes.
Mostramos na sessão 3.3 as considereações necessárias à respeito da integral
de uma k−forma em uma variedade diferenciável, para posteriormente fazer uso na de-
monstração do teorema de Stokes. Entretanto, a forma em que apresentamos o teorema
restrige-se apenas para o caso em que a variedade considerada é compacta e orientável, o
que facilita sua interpretação e também a demonstração. E um tratamento mais geral a
respeito do teorema para aplicações em variedades não compactas e com singularidades
pode ser encontrado na bibliografia consultada.
O texto consta ainda de dois apêndices, o primeito dedicado à uma pequena
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