O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

1.2 O Teorema de Green 18
Esta função está bem definida, pois de (2) decorre que a integral independe do caminho
que liga (x0, y0) a (X, Y ).
Tomando agora ∆x → 0 temos
f(X + ∆x, Y ) − f(X, Y ) =
=
(X+∆x,Y )
(x0,y0)
(X+∆x,Y )
(X,Y )
F1dx + F2dy −
F1dx + F2dy.
(X,Y )
(x0,y0)
F1dx + F2dy =
Novamente, esta última integral independe do caminho entre (X, Y ) e (X + ∆x, Y ), e
então podemos tomá-lo como sendo o segmento de reta que liga esses pontos (lembrando
que por hipótese a região é um domínio). Assim, como a coordenada y é constante, temos
(X+∆x,Y )
(X,Y )
F1dx + F2dy =
(X+∆x,Y )
(X,Y )
Finalmente, pelo teorema do valor médio para integrais,
0 ≤ t ≤ 1. Logo,
(X+∆x,Y )
(X,Y )
f(X + ∆x, Y ) − f(X, Y )
∆x
= 1
∆x
F1dx.
F1dx = ∆xF1(x + t∆x, Y ),
(X+∆x,Y )
(X,Y )
e tomando o limite quando ∆x → 0 obtemos
∂f
∂x (X, Y ) = F1(X, Y ).
F1dx + F2dy = F1(X + t∆x, Y ),
(3) ⇒ (4). Se F = ∇f em U, então ∂f
∂x = F1 e ∂f
∂y = F2, e ainda como F é de classe C 1
imediatamente f é de classe C 2 . Considerando então suas derivadas parciais de segunda
ordem obtemos ∂2 f
∂y∂x
= ∂F1
∂y e ∂2 f
∂x∂y
∂F2 = . Logo,
∂x
∂F1
∂y
= ∂F2
∂x .
(4) ⇒ (1). Basta aplicar o teorema de Green, pois como C é uma curva fechada em U,
então pelo fato de U ser simplesmente conexo, segue que a região D limitada por C está
totalmente contida em U. Assim,
C
F1dx + F2dy =
D
∂F2
∂x
∂F1
− dxdy = 0.
∂y