O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

1.3 O Teorema de Stokes 25
∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂u ∂v ∂v ∂u
= − − =
∂u ∂v ∂v ∂u ∂s ∂t ∂s ∂t
∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂(u, v) ∂(u, v)
= × = Nϕ1
∂u ∂v ∂(s, t) ∂(s, t) .
Teorema 1.3.2. Sejam ϕ1(u, v), (u, v) ∈ D1, e ϕ2(s, t), (s, t) ∈ D2, parametrizações
equivalentes de uma superfície regular orientada S.
1. Se f é uma função escalar contínua definida em S, então
ϕ1(D1)
fds =
ϕ2(D2)
fds.
2. Se F é um campo vetorial contínuo definido em S, então
ϕ1(D1)
(F · n)ds =
ϕ2(D2)
(F · n)ds,
se os vetores normais Nϕ1 e Nϕ2 têm o mesmo sentido em cada ponto de S, e
ϕ1(D1)
(F · n)ds = −
ϕ2(D2)
(F · n)ds,
se os vetores normais Nϕ1 e Nϕ2 têm sentidos opostos em cada ponto de S.
Demonstração. 1. Pela definição (1.3.3) temos
fds =
∂ϕ1
∂ϕ1
f(ϕ1(u, v))
(u, v) × (u, v)
∂u ∂v
dudv.
ϕ1(D1)
D1
Como por ϕ1 e ϕ2 são parametrizações equivalentes, então existe uma função G
dada pela definição (1.3.7) tal que
∂ϕ1
∂ϕ1
f(ϕ1(u, v))
(u, v) × (u, v)
D1
∂u ∂v
dudv =
∂ϕ1
∂ϕ1
f(ϕ1(u(s, t), v(s, t)))
×
∂(u, v)
∂u ∂v
∂(s, t) dsdt.
D2
E finalmente, pelo teorema (1.3.1) obtemos a igualdade
∂ϕ2
∂ϕ2
f(ϕ2(s, t))
(s, t) × (s, t)
∂s ∂t
dsdt =
D2
2. Pela definição (1.3.6) temos
ϕ1(D1)
(F · n)ds =
D1
F (ϕ1(u, v)) ·
∂ϕ1
∂u
ϕ2(D2)
fds.
∂ϕ1
× dudv =
∂v