O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

3.1 Variedades Diferenciáveis 49
que associa cada vetor v ∈ TpM n 1 ao vetor dϕp(0) ∈ Tϕ(p)M m 2 , que é definida escolhendo
uma curva diferenciável α : (−ε, ε) → M n 1 , com α ′ (0) = v, o que nos permite a repre-
sentação
dϕp(v) = (ϕ ◦ α) ′ (0).
Observe que para fazer sentido a definição (3.1.9), ela tem que ser independente
da escolha de α. E este resultado é garantido pelo seguinte teorema.
Teorema 3.1.1. Na definição (3.1.9), dado v ∈ TpM n 1 , o vetor dϕp(v) = (ϕ ◦ α) ′ (0) não
depende da escolha de α.
Demonstração. Sejam f1(x1, · · · , xn) e f2(y1, · · · , yn) parametrizações em vizinhanças de
p e ϕ(p), respectivamente, e suponha que ϕ seja expressa nestas coordenadas por
ϕ(x1, · · · , xn) = (ϕ1(x), · · · , ϕn(x)), onde x = (x1, · · · , xn).
Considere α(t) = (x1(t), · · · , xn(t)), t ∈ (−ε, ε). Dessa forma obtemos,
(ϕ ◦ α)(t) = ϕ(x1(t), · · · , xn(t)) = (ϕ1(x1(t), · · · , xn(t)), · · · , ϕn(x1(t), · · · , xn(t))) .
E a expressão de (ϕ ◦ α) ′ (0) na base { ∂f2 } é ∂xi
(ϕ ◦ α) ′
∂ϕ1
(0) = x
∂x1
′ 1(0) + · · · + ∂ϕ1
x
∂xn
′ n(0), · · · , ∂ϕn
x
∂x1
′ 1(0) + · · · + ∂ϕn
x
∂xn
′
n(0) .
O que nos mostra que (ϕ ◦ α) ′ (0) depende apenas da aplicação ϕ e das coordenadas de
(x ′ 1(0), · · · , x ′ n(0)) na base { ∂f1
∂xi }.
Definição 3.1.10. Uma aplicação ϕ : M n 1 → M m 2 entre variedades diferenciáveis é dita
um difeomorfismo se é bijetora, diferenciável, e possui inversa também diferenciável. Di-
remos ainda que uma aplicação ϕ será um difeomorfismo local em um ponto p, se satisfaz
a condição de difeomorfismo em uma vizinhança de p. Isto é, existem abertos U e V, com
p ∈ U tais que ϕ : U → V é um difeomorfismo.
Definiremos agora as formas diferenciais em variedades difereciáveis.
Definição 3.1.11. Considere uma variedade diferenciável M n . Uma k−forma exterior ω
em M n é a escolha, para cada p ∈ M n , de um elemento ω(p) ∈ Λ k (TpM) ∗ .