O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

3.2 Teorema de Stokes 57
i∗ω também irá se anular em ∂M. Portanto
i ∗ ω = 0.
Por outro lado, estendendo a definição de aj em Hn , por
⎧
⎨ aj(x1, · · · , xn) = aj(x1, · · · , xn), se (x1, · · · , xn) ∈ U
⎩
∂M
aj(x1, · · · , xn) = 0, se (x1, · · · , xn) ∈ H n \ U
temos f −1 (K) ⊂ U, e aj é diferenciável em H n .
Considere então Q ⊂ H n um paralelepípedo, definido por
x 1 j ≤ xj ≤ x 0 j, j = 1, · · · , n
e que contenha f −1 (K) em seu interior. Assim,
dω =
j−1 ∂aj
(−1) dx1 · · · dxn =
∂xj
U
U
=
(−1) j−1
j
Q
j
[aj(x1, · · · , xj−1, x 0 j, xj+1, · · · , xn)−
−aj(x1, · · · , xj−1, x 1 j, xj+1, · · · , xn)]dx1 · · · dxj · · · dxn = 0,
pois aj(x1, · · · , x 0 j, · · · , xn) = aj(x1, · · · , x 1 j, · · · , xn) = 0, para todo j = 1, , · · · , n. E
portanto,
(ii).
∂M
i ∗
ω =
Se porém, f(U) ∩ ∂M = ∅, então a aplicação i pode ser escrita como
⎧
⎨ x1 = 0;
i =
⎩ xj = xj, se j = 1
e usando a orientação induzida em ∂M, temos
M
dω.
i ∗ ω = a1(0, x2, · · · , xn)dx2 ∧ · · · ∧ dxn.
Estendendo novamente aj a H n , e considerando o paralelepípedo Q ′ dado por
x 1 1 ≤ x1 ≤ 0 ; x 1 j ≤ xj ≤ x 0 j, j = 1, · · · , n,
de forma que a união de Q ′ com o hiperplano x1 = 0 contenha f −1 (K). Então,
M
dω =
n
(−1) j−1
j=1
Q ′
∂aj
dx1 · · · dxn =
∂xj