O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

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2.2 Formas Diferenciais 38 Para cada espaço tangente R 3 p podemos associar o seu espaço dual, denotado por (R 3 p) ∗ . Explicitamente, (R 3 p) ∗ = {ϕ : R 3 p → R | ϕ é linear}. Teorema 2.2.1. Considere a base canônica {(e1)p, (e2)p, (e3)p} de R 3 p. Defina a aplicação xi por para i = 1, 2, 3, onde x = (x1, x2, x3). 1, 2, 3}. xi : R 3 → R x ↦→ xi, Nestas condições, o conjunto {(dxi)p; i = 1, 2, 3} será a base dual de {(ei)p; i = Demonstração. De fato, basta observar que (dxi)p(ej) = ∂xi ⎧ ⎨ 1 = ∂xj ⎩ 0 se se i = j; i = j. Definição 2.2.3. Uma forma exterior de grau 1 em R 3 é uma aplicação ω, que associa a cada ponto p ∈ R 3 um elemento ω(p) ∈ (R 3 p) ∗ . Pelo teorema anterior, podemos representar uma forma exterior de grau 1 como ω(p) = a1(p)dx1 + a2(p)dx2 + a3(p)dx3 = 3 ai(p)dxi. Omitindo (p) na expressão, obtemos simplesmente a forma ω = 3 i=1 aidxi. Definição 2.2.4. Considere a forma exterior ω = 3 i=1 aidxi. Se cada aplicação ai : R 3 → R, i = 1, 2, 3, for diferenciável, ω é dita uma forma diferencial de grau 1. Definição 2.2.5. Sejam ϕ1, ϕ2 ∈ (R 3 p) ∗ . Definimos a operação ϕ1 ∧ ϕ2 ∈ Λ 2 (R 3 p) ∗ por (ϕ1 ∧ ϕ2)(v1, v2) = det (ϕi(vj)) . O elemento (dxi)p ∧ (dxj)p ∈ Λ 2 (R 3 p) ∗ será denotado por (dxi ∧ dxj)p. Além disso, temos em particular que (dxi ∧ dxj)p = −(dxj ∧ dxi)p, e (dxi ∧ dxi)p = 0. Teorema 2.2.2. O conjunto {(dxi ∧ dxj)p; i < j}, com i, j = 1, 2, 3, é uma base para Λ 2 (R 3 p) ∗ . i=1
2.2 Formas Diferenciais 39 Faremos a demonstração do caso geral deste teorema (teorema 2.2.3). Definição 2.2.6. Um campo de formas bilineares ou forma exterior de grau 2 em R 3 , é uma correspondência ω que associa a cada p ∈ R 3 um elemento ω(p) ∈ Λ 2 (R 3 p). Pelo teorema (2.2.2) podemos escrever uma forma exterior ω como ω(p) = a12(p)(dx1 ∧ dx2)p + a13(p)(dx1 ∧ dx3)p + a23(p)(dx2 ∧ dx3)p, (2.3) ou simplesmente, por omissão de p, ω = i
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