O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

2.2 Formas Diferenciais 43
(i) f ∗ (ω + ϕ) = f ∗ ω + f ∗ ϕ;
(ii) f ∗ (gω) = f ∗ (g)f ∗ (ω);
(iii) se ϕ1, · · · , ϕk são 1−formas em R m , então f ∗ (ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk) = f ∗ (ϕ1) ∧ · · · ∧ f ∗ (ϕk).
Definição 2.2.14. Seja g : Rn → R uma 0−forma, então a diferencial
n ∂g
dg = dxi
∂xi
é uma 1−forma.
i=1
Definição 2.2.15. Seja ω =
I aIdxI uma k−forma em R n . A diferencial exterior dω,
de ω, é definida por
dω =
daI ∧ dxI.
I
Teorema 2.2.5. Sejam ω1, ω2 k−formas em R m e ϕ uma s−forma em R m . Então,
(i) d(ω1 + ω2) = dω1 + dω2;
(ii) d(ω ∧ ϕ) = dω ∧ ϕ + (−1) k ω ∧ dϕ;
(iii) d(dω) = d 2 ω = 0;
(iv) d(f ∗ ω) = f ∗ (dω), onde f : R n → R m é uma aplicação diferenciável.
Demonstração. Provaremos somente as afirmações (ii) e (iii)
(ii)
d(ω ∧ ϕ) = d aIbJdxI ∧ dxJ =
d(aIbJ) ∧ dxI ∧ dxJ =
bJdaI ∧ dxI ∧ dxJ+
IJ
+
aIdbJ ∧ dxI ∧ dxJ = dω ∧ ϕ + (−1)
IJ
IJ
k
IJ
IJ
aIdxI ∧ dbJ ∧ dxJ = dω ∧ ϕ + (−1) k ω ∧ dϕ.
(iii) Assuma primeiramente que ω seja uma 0−forma, isto é, ω é uma função f : R n → R
que associa cada ponto (x1, · · · , xn) ∈ Rn ao valor f(x1, · · · , xn) ∈ R. Então,
n
n
n
n
∂f
∂f
∂
d(df) = d dxj = d ∧ dxj =
∂xj
∂xj
2
f
dxi ∧ dxj .
∂xi∂xj
j=1
j=1
Pela hipótese de f ser uma 0−forma, segue que
j=1
i=1
∂2f ∂xi∂xj = ∂2f ∂xj∂xi
dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi, quando x = j, temos
d(df) =
2 ∂ f
−
∂xi∂xj
∂2
f
dxi ∧ dxj = 0.
∂xj∂xi
i