O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

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1.1 Integrais de linha 14 linha depende apenas dos pontos inicial e final do caminho C. Veremos que isto está relacionado com as características do campo vetorial ao qual estamos considerando. Antes de enunciar o teorema que nos dará uma condição para que a integral de linha dependa somente dos pontos final e inicial, lembremo-nos do teorema fundamental do cálculo, pois além de utilizá-lo na próxima demonstração, poderemos observar até certa semelhança com o teorema em questão. Teorema 1.1.2. (Teorema Fundamental do Cálculo). Sejam f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e g uma função, com g ′ (x) = f(x) para todo x ∈ [a, b]. Então, b a f(t)dt = g(b) − g(a). Teorema 1.1.3. Seja F um campo vetorial contínuo definido num subconjunto aberto U ⊂ R 3 para o qual existe uma função real f tal que ∇f = F em U. Se C é uma curva em U com pontos inicial e final A e B, respectivamente, parametrizada por uma função σ(t), C 1 por partes, então C F · dr = C ∇f · dr = f(B) − f(A). Demonstração. Sejam A = σ(a) e B = σ(b) os pontos inicial e final de C, respectivamente. Então, como C F · dr = b a ∇f(σ(t)) · σ ′ (t)dt basta fazer g(t) = f(σ(t)), a ≤ t ≤ b e obtemos, pela regra da cadeia, que g ′ (t) = ∇f(σ(t)) · σ ′ (t). E finalmente, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, C F · dr = b a g ′ (t)dt = g(b) − g(a) = f(σ(b)) − f(σ(a)) = f(B) − f(A). Definição 1.1.5. O campo vetorial F acima é chamado de campo vetorial conservativo, ou campo vetorial gradiente, e f é dita uma função potencial 3 . 3 Este nome foi utilizado pela primeira vez pelo matemático George Green, em um trabalho publicado em 1828.
1.2 O Teorema de Green 15 1.2 O Teorema de Green O Teorema de Green 4 trata-se de um resultado muito importante no estudo das integrais de linha, pois as relaciona com uma integral dupla sobre a região limitada pela curva a qual estamos considerando, da seguinte forma: F1dx + F2dy = ∂F2 ∂F1 − dxdy. ∂x ∂y (1.16) ∂D D Mas para a validade de (1.16) faz-se necessário supor a veracidade de duas condições. Primeiro, é necessário que as funções F1 e F2 sejam integráveis. E em se- gundo lugar, temos condições impostas à natureza da região D e sua fronteira ∂D. Será necessário que ∂D seja uma curva fechada simples, isto é, se parametrizada por uma função σ definida em um intervalo fechado [a, b], então σ(a) = σ(b). E ainda, σ(t1) = σ(t2), para todo t1 = t2, onde t1, t2 ∈ (a, b). Curvas fechadas simples são usualmente chamadas de curvas de Jordan, em homenagem ao matemáico francês Camille Jordan (1838-1922), um dos pioneiros nos estudos referentes à curvas fechadas e arcos.[1] Antes de enunciar o Teorema, façamos as seguintes definições: Definição 1.2.1. Uma região D do plano xy é chamada de Região de tipo I se existem ϕ1 e ϕ2 funções, tais que a região pode ser descrita da seguite forma: D = {(x, y) ∈ R 2 : a ≤ x ≤ b e ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)}. Definição 1.2.2. Uma região D do plano xy é chamada de Região de tipo II se existem ψ1 e ψ2 funções, tais que a região pode ser descrita da seguinte forma: D = {(x, y) ∈ R 2 : c ≤ y ≤ d e ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y)}. Definição 1.2.3. Uma região D do plano xy é dita simples se pode ser descrita como uma região do tipo I e II, simultaneamente. Definição 1.2.4. Dizemos que a fronteira ∂D, de uma região limitada D está orientada positivamente se a região D fica à esquerda, ao percorrermos a fronteira ∂D. Definição 1.2.5. Consideremos um campo vetorial F : U ⊂ R 3 → R 3 . F é de classe C 1 se todas as derivadas parciais ∂Fi ∂xj aberto U. das funções coordenadas de F são contínuas no conjunto 4 O teorema leva esse nome em homenagem ao matemático inglês George Green (1793-1841).
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