O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

2.2 Formas Diferenciais 37
E de forma geral, temos o produto de ordem superior
ω1 ∧ · · · ∧ ωr =
r
ωi. (2.2)
i=1
Uma das principais razões de estudar as formas alternadas trata-se de analisar
a estrutura da função determinante, o que não faremos neste trabalho, pelo fato de o
mesmo ter outro objetivo. Os resultados apresentados até aqui serão suficientes para o
desenvolvimento do que se segue. Entretanto sugerimos a leitura das referências [5, 6, 9]
para estudos mais aprofundados sobre o tema.
2.2 Formas Diferenciais
Nesta sessão iremos definir as chamadas k−formas diferenciais em R n , genera-
lizando a idéia que primeiramente apresentaremos para 1−formas em R 3 . Os resultados
são adaptados principalmente pelo que é exposto pela referência [3].
Convencionaremos que a partir desta sessão, quando dissermos que uma aplicação
é diferenciável, estaremos nos fererindo à uma aplicação de classe C ∞ , e dessa forma não
devemos confundir o termo com seu significado no cálculo usual.
Definição 2.2.1. Considere p um ponto de R 3 . O conjunto dos vetores q −p, para q ∈ R 3 ,
será chamado espaço tangente de R 3 em p, e será denotado por R 3 p.
Observação 2.2.1. Lembrando que o conjunto dos vetores e1, e2, e3 formam a base canônica
de R 3 , e como podemos representar R 3 por R 3 0, segue que o conjunto {(e1)p, (e2)p, (e3)p}
forma uma base para o espaço tangente R 3 p, denotando um elemento v ∈ R 3 p por vp. Este
resultado será generalizado para um espaço tangente em R n .
Definição 2.2.2. Um campo de vetores em R 3 é um aplicação κ, que associa a cada ponto
p ∈ R 3 um vetor κ(p) ∈ R 3 p. Podemos escrever κ como
onde a1, a2 e a3 são funções de R 3 em R.
κ(p) = a1(p)e1 + a2(p)e2 + a3(p)e3,
Diremos que um campo vetorial κ é diferenciável se cada função ai : R 3 → R,
i = 1, 2, 3, for diferenciável.