O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

3.2 Teorema de Stokes 56
Dessa forma, f −1
α (p) = (0, x2, · · · , xn) ∈ Uα. Chamando U α = Uα∩{(x1, · · · , xn) ∈
R n | x1 = 0}, podemos observar que U α será um aberto em R n−1 . Basta então considerar
f α a restrição de fα a U α e, pelo teorema (3.2.3), segue que f α(U α) ⊂ ∂M. E ainda, a
família {(U α, f α)} será uma estrutura diferenciável em ∂M.
Se M n é uma variedade diferenciável orientável com fronteira, então a ori-
entação de M n induz uma orientação em ∂M, e dizemos que ∂M possui a orientação
induzida por M. E a demonstração deste resultado pode ser encontrada na referência [3].
Finalmente, com as definições e resultados anteriores, podemos enunciar e
provar o teorema de Stokes em uma variedade.
Teorema 3.2.5. (Teorema deStokes). Sejam M n uma variedade diferenciável com
fronteira, compacta e orientável, ω uma (n−1)−forma diferenciável em M e i : ∂M → M
uma aplicação inclusão 6 . Então
∂M
i ∗
ω =
Demonstração. Consideremos K o suporte de ω, e iremos dividir a demonstração em dois
casos:
(Caso 1). Se K está contido em alguma vizinhança coordenada V = f(U) de uma
parametrização f : U ⊂ H n → M, então tomando a representação local de ω em U, temos
ω =
M
dω.
n
ajdx1 ∧ · · · ∧ dxj ∧ · · · dxn,
j
onde aj = aj(x1, · · · , xn) é uma função diferenciável em U, e a notação dxj significa que
o termo dxj está sendo omitido. Assim, a diferencial dω obtém a forma
n
j−1 ∂aj
dω = daj ∧ dxj = (−1) dx1 ∧ · · · ∧ dxn.
∂xj
j=1
j
Agora observe que podemos subdividir o caso 1 em dois subcasos, um para o caso em que
f(U) ∩ ∂M = ∅ e outro para quando f(U) ∩ ∂M = ∅.
(i).
Se considerarmos f(U)∩∂M = ∅, então o valor de ω será zero em ∂M, e consequentemente
6 Trata-se simplesmente de uma aplicação da forma i(x) = x, e o nome inclusão é motivado pelo fato
de que ∂M ⊂ M.