O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

2.1 Formas Alternadas 36
então
=
1
(k + l)!
sgn(σ0) ·
σ∈G·σ0
1
(k + l)!
sgn(σ) · S(vσ(1), · · · , vσ(k)) · T (vσ(k+1), · · · , vσ(k+l)) =
σ ′ ∈G
sgn(σ ′ ) · S(wσ ′ (1), · · · , wσ ′ (k))
= Alt(S) · T (wk+1, · · · , wk+l) = 0.
· T (wk+1, · · · , wk+l) =
A demontração de que Alt(T ⊗ S) = 0 se faz de forma similar.
Teorema 2.1.7. Sejam ω ∈ Λ k (V ), η ∈ Λ l (V ) e θ ∈ Λ m (V ), então Alt(Alt(ω ⊗ η) ⊗ θ) =
Alt(ω ⊗ η ⊗ θ) = Alt(ω ⊗ Alt(η ⊗ θ)).
Demonstração. Observe que
logo, pelo teorema anterior,
Então
Alt(Alt(η ⊗ θ) − η ⊗ θ) = Alt(η ⊗ θ) − Alt(η ⊗ θ) = 0,
0 = Alt(ω[Alt(η ⊗ θ) − η ⊗ θ]) =
= Alt(ω ⊗ Alt(η ⊗ θ)) − Alt(ω ⊗ η ⊗ θ).
Alt(Alt(ω ⊗ η) ⊗ θ) = Alt(ω ⊗ η ⊗ θ).
O caso Alt(ω ⊗ Alt(η ⊗ θ)) = Alt(ω ⊗ η ⊗ θ) se prova de forma similar.
Teorema 2.1.8. Sejam ω ∈ Λ k (V ), η ∈ Λ l (V ) e θ ∈ Λ m (V ), então (ω ∧ η) ∧ θ =
ω ∧ (η ∧ θ) = (k+l+m)!
Alt(ω ⊗ η ⊗ θ).
k!l!m!
Demonstração.
= (k + l + m)!
(k + l)!m!
(ω ∧ η) ∧ θ =
· (k + l)!
k!l!
(k + l + m)!
Alt((ω ∧ η) ⊗ θ) =
(k + l)!m!
(k + l + m)!
Alt(ω ⊗ η ⊗ θ) = Alt(ω ⊗ η ⊗ θ).
k!l!m!
De fato, o que acabamos de mostrar é que vale a associatividade
ω ∧ (η ∧ θ) = (ω ∧ η) ∧ θ = ω ∧ η ∧ θ. (2.1)