O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

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2.2 Formas Diferenciais 44 Considere agora o caso em que ω = I aIdxI. Pela afirmação (i), podemos restringir ao caso em que ω = aIdxI, com aI = 0. E por (ii), segue dω = daI ∧ dxI + aId(dxI). Mas observe que d(dxI) = d(1) ∧ dxI = 0. Portanto, d(dω) = d(daI ∧ dxI) = d(daI) ∧ dxI + daI ∧ d(dxI) = 0, lembrando que d(daI) = d(dxI) = 0.
3 Integração em Variedades Neste capítulo iremos definir as variedades em R n , e utilizar dos conceitos estudados no capítulo anterior para estabelecer a noção de integral de uma k−forma em R n . Posteriormente, para a demonstração do teorema de Stokes, iremos definir a integral de uma k−forma definida em uma variedade diferenciável. 3.1 Variedades Diferenciáveis No capítulo 1 vimos o teorema de Stokes para aplicações em R 2 e R 3 , que nos forneceu a seguinte identidade S (rotF · n)ds = ∂S 45 F · dr, (3.1) onde S é uma superfície em R 3 . Para a generalização deste teorema, precisaremos estender o conceito de superfície para dimensões maiores, que são as chamadas variedades. Intuitivamente, uma variedade é a generalização de curvas e superfícies para dimensões arbitrariamente grandes, e como a maioria dos conceitos matemáticos, sua formalização não foi fruto da pesquida de apenas um, mas de vários matemáticos durante muitos anos. Alguns matemáticos como Riemann e Gauss figuram entre os principais nomes que contribuíram para a formalização do conceito de variedade. Em especial, o termo manifold 1 é uma tradução direta (para o inglês) da palavra de origem alemã Mannigfaltigkeit, utilizada por Riemann em seu trabalho pioneiro intituado Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre as Hipóteses Subjacentes aos Fundamentos da Geometria). Iremos agora definir o conceito de variedade diferenciável, bem como mostrar aluns teoremas envolvendo tal conceito. Os resultados apresentados nesta sessão foram adaptados das referências [3, 9, 11]. 1 Utilizamos como tradução não literal a palavra variedade, para manifold, como é usualmente feito na literatura nacional.
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