O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

1.3 O Teorema de Stokes 29
Demonstração. Suponhamos que W seja uma região simples.Se F = (F1, F2, F3), podemos
escrever
W
divF dxdydz =
E por outro lado,
∂W
(F ·n)ds =
∂W
W
∂F1
∂x dxdydz+
W
∂F2
∂y dxdydz+
W
∂F3
∂z dxdydz.
[(F1, 0, 0) · n] ds+ [(0, F2, 0) · n] ds+ [(0, 0, F3) · n] ds.
∂W
∂W
Portanto, para validar o teorema, basta provarmos as seguintes identidades
W
W
W
∂F1
dxdydz = [(F1, 0, 0) · n] ds
∂x ∂W
∂F2
dxdydz =
∂y
∂F3
dxdydz =
∂z
∂W
∂W
[(0, F2, 0) · n] ds
[(0, 0, F3) · n] ds.
contudo, provaremos somente a última, pois as demais são análogas. Para tanto, descre-
vemos W como uma região do tipo I.
W = (x, y, z) ∈ R 3 |f1(x, y) ≤ z ≤ f2(x, y) , (x, y ∈ D) .
Essa região é limitada inferiormente por uma superfície S1 de equação z = f1(x, y), com
(x, y) ∈ D e limitada superiormente por uma superfície S2 de equação z = f2(x, y), com
(x, y) ∈ D. Possivelmente, essa região também é limitada por uma porção de cilindro
gerada por uma reta paralela ao eixo z ao longo da fronteira de D, que denotaremos por
S3. Assim,
E ainda
W
=
∂W
f2(x,y)
∂F3
∂F3
dxdydz =
∂z D f1(x,y) ∂z dz
dxdy =
D
[F3(x, y, f2(x, y)) − F3(x, y, f1(x, y))]dxdy.
[(0, 0, F3) · n]ds =
3
i=1
Si
[(0, 0, F3) · n]ds.
E como, em S3 o campo de vetores normais unitários é paralelo ao plano xy,
então (0, 0, F3) · n = 0, o que acarreta
S3
[(0, 0, F3) · n]ds = 0.