O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

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3.1 Variedades Diferenciáveis 50 Definição 3.1.12. Dada uma k−forma exterior ω em uma variedade diferenciável M n , e uma parametrização fα : Uα → M n em uma vizinhança de p ∈ fα(Uα), definimos a representação de ω nesta parametrização como a k−forma exterior ωα em Uα ⊂ R n , dada por ωα(v1, · · · , vk) = ω(dfα(v1), · · · , dfα(vk)), com v1, · · · , vk ∈ R n . Observe na definição acima que, se mudarmos o sistema de coordenadas para fβ : Uβ → M n , p ∈ fβ(Uβ), obtemos = ωβ (f −1 β ◦ fα) ∗ −1 ωβ(v1, · · · , vk) = ωβ d fβ ◦ fα (v1), · · · , d f −1 β ◦ fα (vk) dfβ ◦ d f −1 β ◦ fα (v1), · · · , dfβ ◦ d f −1 β (3.5) ◦ fα (vk) = ωα(v1, · · · , vk). (3.6) E temos a relação (f −1 β ◦ fα) ∗ ωβ = ωα, motivando a seguinte definição. Definição 3.1.13. Uma k−forma diferencial em uma variedade diferenciável M n é uma forma exterior que possui representação diferenciável em algum sistema de coordenadas. Observação 3.1.3. Pelas equações (3.5) e (3.6), e pela definição acima, podemos concluir que se uma k−forma exterior possuir representação diferenciável em algum sistema de coordenadas, então possuirá em todos. De forma resumida observamos que, sendo ω uma k−forma diferencial em M n , então para uma parametrização (Uα, fα) de M n , ω é a escolha de uma k−forma diferencial ωα em Uα, de forma que, para alguma outra parametrização (Uβ, fβ) de M n , com fα(Uα) ∩ fβ(Uβ) = ∅, tenha-se ωα = f −1 β ∗ ◦ fα ωβ. (3.7) Afirmamos ainda que todas as considerações feitas a respeito de formas diferenciais em R n podem ser estendidas para formas diferenciais em uma variedade diferenciável M n , tomando uma representação local. De fato, a diferencial de uma k−forma em uma variedade diferenciável M n está bem definida, pois por (3.7) tem-se dωα = d f −1 β ∗ ◦ fα ωβ = f −1 ∗ β ◦ fα dωβ. (3.8) Definição 3.1.14. Uma variedade diferenciável M é dita orientável se possui uma es- trutura diferenciável {(Uα, fα)}, tal que para cada par α, β, com fα(Uα) ∩ fβ(Uβ) = ∅, a diferencial da mudança de coordenadas f −1 β ◦ fα, possui determinante positivo. Caso contrário, M é dita não orientável.
3.2 Teorema de Stokes 51 3.2 Teorema de Stokes Nesta sessão, nossa meta será a demonstração do teorema de Stokes em variedades compactas 4 e orientáveis. E por este motivo todas as variedades consideradas a partir de agora serão compactas e orientáveis, salvo apenas menção contrária. Para as primeiras considerações, limitaremos ao caso em que M n = R n , isto é, consideraremos a variedade diferenciável n−dimensional (não compacta) R n . Definição 3.2.1. Seja ω uma forma diferencial definida em um conjunto aberto U ⊂ M n , definimos o suporte K de ω como o fecho 5 do conjunto A = {p ∈ M n | ω(p) = 0}. como Considerando ω uma n−forma diferencial em R n , então podemos escrever ω ω = a(x1, · · · , xn)dx1 ∧ · · · ∧ dxn. (3.9) E supondo que o suporte K de ω seja compacto e esteja contido em U, então definimos a integral de ω sobre U por U ω = K adx1 · · · dxn, (3.10) onde no lado direito da igualdade temos uma integral múltipla em R n . Observaremos agora as estreitas relações entre a integral de uma n−forma definida em R n e uma n−forma definida em uma variedade diferenciável qualquer M n . Consideremos ω uma n−forma definida em uma variedade diferenciável M n , e suponha que o suporte K de ω esteja contido em alguma vizinhança coordenada Vα = fα(Uα). então, sendo a representação local de ω, ωα em Uα dada por e dessa forma podemos definir a integral ωα = aα(x1, · · · , xn)dx1 ∧ · · · ∧ dxn, (3.11) M ω = Vα ωα = Uα aαdx1 · · · dxn, (3.12) onde o lado direito da igualdade expressa uma integral múltipla usual em R n . 4 Aqui o termo compacto terá o mesmo significado que o empregado na topologia geral, uma vez que uma variedade é um espaço topológico. Vide definição (6.0.19) e o teorema (6.0.13) no apêndice B. 5 Trata-se do conjunto dos pontos aderentes. Ver definição (6.0.17) no apêndide B.
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