O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

1.1 Integrais de linha 12
Quando n é grande, ∆Si é pequeno e f(x, y, z) pode ser considerada constante
em Ci e igual a f(σ(ui)). Obtemos assim a soma de Riemann
n−1
f(σ(ui))||σ ′ (ui)||∆ti. (1.10)
i=0
Logo, se considerarmos f(x, y, z) constante em C, obtemos
n−1
lim f(σ(ui))||σ
n→∞
′ b
(ui)||∆ti = f(σ(t))||σ ′ (t)||dt. (1.11)
i=0
Façamos então a seguinte definição.
Definição 1.1.3. Consideremos uma curva C em R 3 parametrizada por
σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b], onde σ é de classe C 1 , e f(x, y, z) uma função real
contínua em C. Definimos a integral de linha de f ao longo de C por
b
fds = f(x, y, z)ds = f(σ(t))||σ ′ (t)||dt.
C
C
Observação 1.1.1. Se f(x, y, z) = 1 obtemos simplesmente a fórmula do comprimento da
curva C
C
ds =
b
a
a
a
||σ ′ (t)||dt. (1.12)
Suponha agora que uma partícula se mova ao longo de uma curva C, para-
metrizada por uma função σ(t), e que exista uma parametrização equivalente β(t) de C.
Veremos então a relação entre as integrais
F · dr e
Cσ
Cβ
F · dr, (1.13)
onde Cσ é a parametrização de C por σ(t) e Cβ e a parametrização de C por β(t).
Definição 1.1.4. Sejam σ(t) (a ≤ t ≤ b) e β(t) (c ≤ t ≤ d) duas parametrizações de classe
C 1 de uma curva C. Dizemos que σ(t) e β(t) são parametrizações equivalentes se existe
uma função h : [c, d] → [a, b], bijetora e de classe C 1 , tal que β(t) = σ(h(t)), c ≤ t ≤ d. Se
h é crescente, dizemos que h preserva a orientação.
Teorema 1.1.1. Sejam σ(t) (a ≤ t ≤ b) e β(t) (c ≤ t ≤ d) parametrizações C 1 por partes
e equivalentes, isto é, existe h dada pela definição anterior. Se h preserva orientação,
então
Cβ
F · dr =
Cσ
F · dr.