O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

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3.2 Teorema de Stokes 54 (p1) m i=1 ϕi = 1; (p2) 0 ≤ ϕi ≤ 1, e o suporte de ϕi está contido em algum Vαi de da cobertura {Vα}. A demonstração deste teorema pode ser encontrada nas referências [3, 9, 11]. Para as considerações posteriores precisaremos definir um tipo especial de variedade, chamada variedade diferenciável com fronteira, e para isso necessitamos da de- finição de um semi-espaço em R n . Definição 3.2.3. Chama-se semi-espaço em R n ao conjunto H n = {(x1, · · · , xn) ∈ R n | x1 ≤ 0}. Diremos que uma função f : V → R, definida em um aberto V ⊂ H n é diferenciável, se existem um conjunto U ⊂ R n que contém V, e uma função diferenciável f em U, tal que a restrição de f a V seja igual a f. E neste caso, a diferencial dfp, de f em p ∈ V, é definida como dfp = df p. (3.16) Definição 3.2.4. Uma variedade diferenciável n−dimensional com fronteira é um conjunto M, munido com uma família de aplicações injetivas fα : Uα ⊂ H n → M, de abertos de H n em M tais que, (m ′ 1) Uαfα(Uα) = M; (m ′ 2) Para todo par α, β, com fα(Uα) ∩ fβ(Uβ) = W = ∅, os conjuntos f −1 são abertos em H n , e as aplicações f −1 β ◦ fα, f −1 α ◦ fβ são diferenciáveis; (m3) A família {(Uα, fα)} é maximal com relação à (m ′ 1) e (m ′ 2). α (W ) e f −1 (W ) Definição 3.2.5. Um ponto p de uma variedade diferenciável M n é dito um ponto de fronteira de M, se para alguma parametrização f : U ⊂ H n → M em alguma vizinhança de p, tenha-se f(0, x2, · · · , xn) = p. Para que a definição anterior de ponto de fronteira de uma variedade faça sen- tido, precisamos garantir que ela independe da parametrização utilizada. E tal resultado é exibido pelo próximo teorema. Teorema 3.2.3. A definição de ponto de fronteira não depende da parametrização. β
3.2 Teorema de Stokes 55 Demonstração. Seja f1 : U2 → M uma parametrização em uma vizinhança de p, de forma que f1(q) = p, com q = (0, x2, · · · , xn). Suponha por absurdo que exista outra parametrização f2 : U2 → M, em uma vizinhança de p, tal que f −1 2 (p) = q2 = (x1, · · · , xn), com x1 = 0. Seja W = f1(U1) ∩ f2(U2). Temos então a aplicação f −1 1 ◦ f2 : f −1 2 (W ) → f −1 1 (W ), que será um difeomormismo, isto é, bijetora, diferenciável e que possui inversa também diferenciável. Como supomos x1 = 0, existirá uma vizinhança U de q2, U ⊂ f −1 2 (W ), que não intersepta o eixo x1, e restringindo f −1 1 ◦ f2 a U, temos ainda um difeomorfismo, dado por e além disso, det(d(f −1 1 ◦ f2)) = 0. f −1 1 ◦ f2 : U → H n , Finalmente, pelo teorema da função inversa, podemos garantir que a aplicação f −1 1 ◦ f2 : V ⊂ U → U1 ⊂ H n será um difeomorfismo, o que nos leva à uma contradição, uma vez que se isso se verificasse teríamos pontos da forma (x1, · · · , xn), com x1 > 0, sendo levados em H n por f −1 1 ◦ f2. rametrização. Portanto garantimos que p será um ponto de fronteira mesmo com outra pa- Sem ambiguidades, podemos então definir o conjunto dos pontos de fronteira de uma variedade diferenciável M n . Definição 3.2.6. Sendo M n uma variedade diferenciável, denotamos por ∂M o conjunto dos pontos de fronteira de M n , chamado simplesmente de fronteira de M. Observação 3.2.2. Se ∂M = ∅, então naturalmente a variedade não possui fronteira, e portanto é definida segundo a definição (3.1.2). Teorema 3.2.4. A fronteira ∂M de uma n−variedade diferenciável M com fronteira, é uma (n − 1)−variedade diferenciável. Demonstração. Tome um ponto p ∈ ∂M, e considere a parametrização fα : Uα ⊂ H n → M n , em alguma vizinhança de p.
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