O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

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6 Apêndice B - Topologia Elementar do R n 66 Observação 6.0.7. Em R n , os únicos conjuntos que são abertos e fechados, sumultanea- mente, é o conjunto vazio ∅ e o próprio R n . Teorema 6.0.11. A função f : R n → R m é contínua se, e somente se, para qualquer conjunto aberto U ⊂ R m , a imagem inversa f −1 (U) é aberta em R n . Demonstração. Observe que o conjunto f −1 (U) é expresso por f −1 (U) = {x ∈ R n : f(x) ∈ U}. Suponha que f é contínua. Se U ⊂ R n é eberto, e a ∈ f −1 (U), então existe ε > 0 tal que B(f(a), ε) ⊂ U. Como f é contínua, existe δ > 0 tal que f(B(a, δ)) ⊂ B(f(a), ε) ⊂ U. Como B(a, δ) ⊂ f −1 (U), então segue que f −1 (U) é aberto. Suponha agora que f −1 (U) é aberto para todo connjunto aberto U ⊂ R m . Seja a ∈ U e ε > 0. Então A = f −1 (B(f(a), ε)) é aberto. Assim, esxiste um δ > 0 tal que B(a, δ) ⊂ A. Portanto, f(B(p, δ)) ⊂ f(A) ⊂ B(f(a), ε), e f é contínua em a. Corolário 6.0.1. A função f : R n → R m é contínua se, e somente se, para qualquer subconjunto fechado U ⊂ R m a imagem inversa f −1 (U) ⊂ R n é subconjunto fechado. Definição 6.0.19. Um conjunto A ⊂ R n é dito compacto se, e somente se, todo subconjunto infinito B de A possui um ponto de acumulação em B. Essa afirmação é equivalente a dizer que toda sequência de pontos em A possui uma subsequência que converge para um ponto de A. Como exemplo de subconjuntos que não são compactos em R n , podemos citar o subconjunto R, pois Z ⊂ R é infinito e não possui subsequência convergente. a sequência { 1 n Outro exemplo de conjunto não compacto é o intervalo aberto (0, 1) ⊂ R,pois convergente porque { 1 n que não pertece ao conjunto. : n ∈ N} é um subconjunto infinito de (0, 1) que não possui subsequência : n ∈ N} possui apenas um ponto de acumulação, a saber o zero, De forma natural, podemos generalizar o exemplo acima e afirmar que bolas abertas em R n não são conjuntos compactos 1 . Se um conjunto A contido em R n é finito, então automaticamente A é compacto pois, pela nossa definição, para mostarmos que A não é compacto teríamos que exibir um 1 Ver demonstração em [7].
6 Apêndice B - Topologia Elementar do R n 67 subconjunto infinito que não possuísse sequência convergente dentro do próprio conjunto, mas isso é impossível uma vez que A é finito. Definição 6.0.20. Um subconjunto A ⊂ R n é limitado se ele está contido em bola do R n . Definição 6.0.21. Uma cobertura aberta de um conjunto A ⊂ R n é uma família de conjuntos abertos {Uα}, α ∈ I tal que α Uα = A. Quando há apenas um número finito na família, dizemos que a cobertura é finita. Se a subfamília {Uβ}, β ∈ I ′ ⊂ I, ainda cobre A, isto é, β Uβ = A, dizemos que {Uβ} é uma subcobertura de {Uα}. Teorema 6.0.12. Para um conjunto K ⊂ R n as seguintes afirmações são equivalentes: 1. K é compacto. 2. (Heine - Borel). Toda cobertura de K tem uma subcobertura finita. 3. (Bolzano - Weierstrass). Todo subconjunto infinito de K tem um ponto de acumulação em K. Demonstração. Mostraremos as implpicações (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1). (1) ⇒ (2) : Seja {Uα}, α ∈ A, uma cobertura de aberta do compacto K, e suponha que {Uα} não tenha subcobertura finita. Como K é compacto, ele está contido em uma região retangular B = {(x1, · · · , xn) ∈ R n | aj ≤ xj ≤ bj, j = 1, · · · , n}. Então dividimos B pelos hiperplanos 2 xj = aj+bj 2 . E obtemos assim 2 n retângulos fechados menores. Por hipótese, pelo menos uma das regiões retangulares menores, digamos B1, é tal que B1 ∩ K não é coberta por um número finito de conjuntos abertos de {Uα}. Dividimos agora B1 de forma análoga e, repetindo este processo, obtemos uma sequência de regiões retangulares fechadas B1 ⊃ B2 ⊃ · · · ⊃ Bi ⊃ · · · tal que nenhum Bi ∩ K é coberto por um número finito de conjuntos abertos de {Uα} e o comprimento do maior lado de Bi converge para zero. 2 Em suma estamos subdividindo B em retângulos menores, por exemplo, se K ⊂ R 2 , então ultilizando este método iremos dividir K em 2 2 retângulos.
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