O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

1.3 O Teorema de Stokes 30
Observe agora que em S2 o campo de vetores normais que aponta para fora de
W é dado por N2 = − ∂f2
∂f2 , − , 1 , já em S1 o campo de vetores normais que aponta
∂x ∂y
∂f1 ∂f1
para fora de W é dado por N1 = , , −1 . Portanto,
∂x ∂y
e ainda
S2
[(0, 0, F3) · n]ds =
S1
D
=
(0, 0, F3(x, y, f2(x, y))) ·
D
F3(x, y, f2(x, y))dxdy
− ∂f2
∂x
, −∂f2 , 1 dxdy =
∂y
∂f1 ∂f1
[(0, 0, F3) · n]ds = (0, 0, F3(x, y, f1(x, y))) · , , −1 dxdy =
D
∂x ∂y
= −F3(x, y, f1(x, y))dxdy.
Assim,
∂W
D
[(0, 0, F3) · n]ds =
o que garante a validade da identidade.
D
[F3(x, y, f2(x, y)) − F3(x, y, f1(x, y))]dxdy,
Para completar a demonstração, observe que se W não for uma região simples,
então podemos decompor W em uma união finita de regiões simples W = n
i=1 Wi, e
usando o teorema de Gauss em cada região simples, obtemos
W
divF dxdydz =
n
i=1
∂Wi
(F · n)ds.
E como os vetores normais exteriores à fronteira comum de duas regiões simples
são opostos, então as integrais de superfície correspondentes são simétricas, e portanto se
cancelam. Assim,
n
i=1
∂Wi
(F · n)ds =
∂W
(F · n)ds.